范德蒙行列式在多项式计算中的应用.docx

    范德蒙行列式在多项式计算中的应用    戴娟 邱雁摘 要： 在高等代数中，利用行列式展开理论得到了范德蒙行列式的计算结果.多项式理论是高等代数核心理论之一，本文利用范德蒙行列式讨论了几个多项式的计算问题.Key： 范德蒙行列式 多项式 拉格朗日插值多项式在高等代数中有下列结果，n阶的范德蒙行列式V■=1 x■ x■■ … x■■1 x■ x■■ … x■■… … … …1 x■ x■■ … x■■=■（x■-x■），当这些x■两两互异时，V■≠0，这个结果可以解决一些关于多项式的计算问题.一、关于多项式根的问题例1：证明一个n次多项式至多有n个互异根.证：设f（x）=a■+a■x+…+a■x■有n+1个互异的零点x■，x■，…，x■，x■，则有f（x■）=a■+a■x■+…+a■x■■=0，1≤i≤n+1，即a■+x■a■+x■■a■+…+x■■a■=0，a■+x■a■+x■■a■+…+x■■a■=0， …a■+x■a■+x■■a■+…+x■■a■=0，這个关于a■，a■，a■的齐次线性方程组的系数行列式1 x■ x■■ … x■■1 x■ x■■ … x■■… … … …1 x■ x■■ … x■■=■（x■-x■）≠0因此a■=a■=…=a■=0.这表明f（x）至多有n个互异根.二、关于拉格朗日插值多项式例2：设a■，a■，…，a■是两两互异的数，证明对任意n个数b■，b■，…，b■，存在唯一的次数小于n的拉格朗日插值多项式L（x）=■b■■x-■，使得L（a■）=b■，1≤i≤n.证：从定义容易看出L（x）的次数小于n，且L（a■）=b■，故只需证明唯一性即可.设f（x）=c■+c■x+c■x■+…+c■x■满足f（a■）=b■，1≤i≤n，即c■+a■c■+a■■c■+…+a■■c■=b■，c■+a■c■+a■■c■+…+a■■c■=b■， …c■+a■c■+a■■c■+…+a■■c■=b■，这个关于c■，c■，c■，…，c■的线性方程组的系数行列式1 a■ a■■ … a■■1 a■ a■■ … a■■… … … …1 a■ a■■ … a■■=∏■（a■-a■）≠0，c■，c■，c■，…，c■是唯一的，所以f（x）=L（x）.三、关于多项式整除问题例3：设f■（x），f■（x），…，f■（x）是n-1个复系数多项式，满足1+x+…+x■|f■（x■）+xf■（x■）+…x■f■（x■），证明f■（1）=f■（1）=…=f■（1）=0.证：f■（x■）+xf■（x■）+…+x■f■（x■）=p（x）（1+x+…+x■），取ω=cos■+isin■，分别以x=ω，ω■，…，ω■代入，可得f■（1）+ωf■（1）+…+ω■f■（1）=0，f■（1）+ω■f■（1）+…+ω■f■（1）=0， …f■（1）+ω■f■（1）+…+ω■f■（1）=0.这个关于f■（1），f■（1），…，f■（1）的齐次线性方程组的系数行列式1 ω … ω■1 ω■ … ω■… … … …1 ω■ … ω■≠0，因此f■（1）=f■（1）=…=f■（1）=0.利用例3容易得出：设n是奇数f■（x），f■（x），…，f■（x）是n-1个复系数多项式，满足x■-x■+x■-…+1|f■（x■）+xf■（x■）+…+x■f■（x■）|，则f■（-1）=f■（-1）=…=f■（-1）=0.上面这几道关于多项式的计算问题都通过巧妙地化为范德蒙行列式，得到了解决.Reference：[1]赵树嫄.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，2002.[2]冯锡刚.范德蒙行列式在行列式计算中的应用.山东轻工业学院学报（自然科学版），2000.2.考试周刊2015年88期考试周刊的其它文章建筑施工工艺课程一体化教学的分析与思考简析初中生英语阅读能力的培养探讨绿色课堂的内涵， 改进小学数学课堂教学创设教学情境，让历史课堂 “活” 起来《群山回唱》中创伤与家庭的解读板块式作文教学的思考与实践  -全文完-。