立足课本_研究命题_谈2014年江苏高考函数解答题_王凯.pdf

1 2 - 3 0跃爭表学 年第期立足课本，研究命题—谈 年江苏高考函数解答题苏州大学数学科学学院研究生 王 凯函数与导数是中学数学中最重要的主干 导得 力，即，当 时，知识，其观点与思想贯穿整个高中数学教学的全过程， 是历年全国各省市高考考查力度最大 ” 、二二：，； 、 ：的模块愚⑷在’—上单调递减 在，上单年高考江苏卷数学函数类试题中没 调递增 又 ° 从而， 当■有涉及到任何生僻的知识和冷门的方法 但是 时 即 —在区分度较高的函数与导数相结合的解答题 从而一一 当 时， ，中， 需要学生理解数学问题的核心， 理清知识 即 — ， 斤 当 时，的内部联系， 才能透过现象看本质 本文试图“分析 年江苏卷函数解答题的相关背景与相 解法二：要比较 和 的大小，只需关题 比较 和 的大小 进一步，题 肌 年高考江苏卷第 题 已知函 由于 故只需比较厂 和厂 的数⑷—，其中 是自然对数的底数 大小 为此考細数办）其导数证明： 是上偶函数；工若关于 的不等式 彡 叫在，上恒成立， 求实数的取值范围；、‘工已知正数 满足： 存在孙可以证明在工 时， 有使得吨）工 成立 试比较 和 故分‘⑷即分㈦在 上广 的大小， 并证明你的结论 单调递减 因此： 当 时，— 即解： （ 、 （ 略—解法一：容易计算对任意工， 当 时，一； 当备〉。

即⑷在 上单调递“描 口 、时， 即增，且⑴—令—工， 则——因此办）解法三： 由指数函数与幂函数趋于无穷的在，上单调递减，且 若存在邶速度比较可知， 当 充分大时， 〉 因使得 吻）叼吻成立’则⑴此只需找到区间 上两者的临界即 ， 解得 〉昏 ▲点，即使得 成立的 的取值即可要 比较 和 的大 小，只 需 比较用解法一的方法可以证明， 和 分即 和 的大小 别是 ， 和 ，上唯一使得为此， 考虑函数响： ；求成立的 的取值如图 注意到2 0 1 4 年第 期 跃爭牧学因此， 当 时， 一 当 可以看出 ， 上述解法完全套用题 的解法二，或者说题 的解法二完全套用此题解法时，当】 冗 时， 所以说，高考题确是课本中思想的延伸 当然，一此题还可用数学归纳法和作商比较的方法证丨明三、 高观点下的解法分析… 仔细分析解法二发现，比较产 和 — 的大小，其本质考虑的是函数乂… 吨：…的单调性 这个过程中最重要的是对 的丨估计， 即：在； — ， 时， 成立不等式一 一图 十 工这在高等数学中是一个非常重要的不等二、 冑 式 当然， 此不等式可以用初等方法证明但若课本是高考命题的基本依据，很多高考题 结合高等数学中的 中值定理，过程将源自课本，或是课本习题的改编，或是课本中 胃胃日思想的延伸 此题也不例外证明 ：记响⑷， 则啊题 办教版必修 第 页复习题— 由 中值定理： 存在，设、 、 都是不等于的正数， 且 ，试彳吏得比较 。

的大小解 ° 只需比较— —和的大小 由于 从而“⑷二对 〉 禾口工 分另结合函数⑷的单调性可得：° 因此 —此课本习题不仅在表述形式上与今年的考题类似， 而且解法的大致思想也是相同的 我们将在下面的相关题研究 题 中再次在直接比较两数大小遇到困难时，都是通过取 使用此不等式对数， 结合对数函数的单调性解决问题 一般地，结合 的单调性，我们可以比与此类似的问题在苏教版教材中屡见不 较 和铲 的大小〉 〉 当 〉鲜： 时，题 苏教版选修 第 页复习题 再看解法三，此中 的关键在于指数函试比较 广和 的大小 数 与幂函数￡ 趋于无穷的 “速解： 只需比较和 即 度”快慢 我们称之为指数函数的数量级问题禾，奸”—的大小■进一步， 只需比 从极限的角度看：， 即当 充分较 和 的大小 为此考虑函数咖） 大时，—定有“ 〉 因此只要确定区间求导得 当 时’ 曼 —’ 上唯一使得 成立的函数 工 单调增加；当 〉 时，的取值即可此方法是理解了 问题的核心， 透，函数 工） 单调减少 因此， 当 》 时’过现象看到了本质， 将题目的结果“看” 了出来但这需要对指数函数的数■级有充分 只，即 广 当《对中学生来说有一定的困难 不过这个问题在或 时，苏教版教材中是有体现的：1 2 - 3 2反學权學 年第 期题 苏教版必修一第三章复习题 利用故存在唯计算器分别计算当 ， … ， 时， 函数 一的 —， 使得於）及 的值， 并分析判断 从而， 存在唯一的尤 使得一当工无限增大命，这三个函数中哪个函数增长 ￡ 广 进一步，当工，时， 〉的更快些？ 当， 时，解：通过图像观察容易得到， 艮增大 用数学软件可求出实数 的值指 长最快， 其次是幂函数 大致为…； 此题源自文 但原书§ 中的证贿误其巾的麵此处已更正从题 的结论出发， 能否作 些联想和推题 解法〒的证明过 中构造了辅广？ 助函数 ⑷和 利用函题、计算可以发现： 数单调性比较大小 特别值得一提的是，此类⑴当 或 时， 函数的相关性质成为不少高考试励命题背；、景 比如， 年高考江苏卷第题：问能否找到头数 ， 使得对任意古名 甘类祖 、题薦年气考江苏卷第 设？十恒成立？进一步，试比较 和沪的大——，咖）—若办在小 〉 ， 上单调递增， 求 ⑷的零点个数解：类似于题 的解法，只需比较幸解： 由咖）的单调性易得 函数㈨和 即 的大小’ 的零点个数即为方程 的解的个数， 也即进一步， 只需比较 和，的大小 为工与 的图像的交点个数当 ， 时， 在，， 函数 单调递增； 当工 时，是增函数 当工时 在函数 单调递减 二『丄因此， 寸，⑷ 是减函数 因此当 时’ 赚吵有当 时， （最大值 的值域为 一， 当—结合函数办工生三的单调性可得： 当时，％— 当工― 时， ！⑷—— 函数的图像分别以 轴， 轴为渐近线 画出示— —意图 见图 即得： 当。

时， 〉⑷有一个零点； 当“ 时⑷有两个但当 ； ： 时， 还未曾比较 ： 产 零点和； 的大小，卩： 未找到题述中的实数 下面证明题中实数 的存在性 ”令⑷“糾 …；， 则⑵ ， 去—故⑷在上存在零点 进一步， 在区 一间 上考虑函数 ；由于当 — 时’‘于是—―——、参考文献一二° 虞涛 从课本到高考—数学研究性即⑷在区间， 上单调 又 学习 上海：华东师范大学出版社，。