【名师一号】2014-2015学年高中数学第二章解析几何初步双基限时练29(含解析)北师大版必修2.pdf

1 双基限时练 (二十九 ) 一、选择题1．点P6 6，3 3，－2 2到原点O的距离是 ( ) A.30 6B．1 C.336D.356解析|OP| ＝6 62＋3 32＋－2 22＝1. 答案B 2．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z) 的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是 ( ) A．圆B．直线C．球面D．线段解析(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1 表示 (x，y，z) 到点 (2 ，－ 1， 3)的距离的平方为1，它表示以 (2 ，－ 1,3) 为球心，以1 为半径的球面．答案C 3．已知点P到三个坐标平面的距离相等，且皆为3，则点P到原点的距离是( ) A．3 B．32 C．33 D．333 解析|OP| ＝32＋32＋32＝33. 答案C 4．已知三角形的三个顶点A(1 ，－ 2，－ 3) ，B( －1，－ 1，－ 1) ，C(0,0 ，－ 5)，则△ABC为( ) A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析∵|AB| ＝22＋ 1＋4＝3，|BC| ＝12＋12＋42＝18，|AC| ＝12＋22＋22＝3. ∵|AB| ＝|AC| ，且 |AB|2＋|AC|2＝|BC|2，故选 B. 答案B 5．已知A(1,2 ，－ 1) ，B(1 ，t，t)(t∈R) ，则 |AB| 的最小值为 ( ) A.9 2B．5 2 C.5 D.32 2解析∵|AB| ＝t－22t＋12＝2t2－2t＋5，∴当t＝12时， |AB|min＝322. 答案D 6．到点A( －1，－ 1，－ 1) ，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z) 的坐标满足 ( ) A．x＋y＋z＝－ 1 B．x＋y＋z＝0 C．x＋y＋z＝ 1 D．x＋y＋z＝4 解析由题意得 (x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，即：x＋y＋z＝0. 答案B 二、填空题7．若点P(x，y，z) 到A(2,3,0)，B(5,1,0)的距离相等，则点P的坐标 (x，y，z) 满足________．解析由(x－ 2)2＋(y－3)2＋z2＝(x－5)2＋(y－1)2＋z2，得 6x－4y－13＝0. 答案6x－4y－13＝0 8．若A(x,5－x,2x－1) ，B(1 ，x＋2,2 －x) ，则 |AB| 的最小值为 ________，此时A点的坐标为 ________．解析|AB| ＝x－ 12x－x－22x－ 1－2＋x2＝14x2－32x＋19＝14x－8 72＋5 7，∴当x＝8 7时， |AB|min＝35 7. 此时A8 7，27 7，9 7. 答案35 78 7，27 7，9 79．在xOy平面上的直线x＋y＝1 上确定一点M，使M到点 (6,5,1)的距离最小，则M点的坐标为 ________．解析设M(t,1－t,0) ，则M到(6,5,1)的距离d＝t－62t2＋1＝2t2－ 4t＋53，∴当t＝1 时d取得最小值，此时M点的坐标为 (1,0,0)．3 答案(1,0,0) 三、解答题10．在xOy平面内的直线x＋y＝1 上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小．解∵M是xOy平面内的直线x＋y＝1 上的点，则设M的坐标为 (x,1－x,0) ，由两点间的距离公式 |MN| ＝x－62x－5212＝2x－12＋51. ∴当x＝1 时， |MN| 最小，∴M的坐标为 (1,0,0)．11．已知A(1,2 ，－ 1) ，B(2,0,2)，(1) 在x轴上求一点P，使 |PA| ＝|PB| ；(2) 在xOz平面内的点M到A点与到B点的距离相等，求M点的轨迹．解(1) 设P(a,0,0) ， 由|PA| ＝ |PB| ， 可知a－ 1222＋12＝a－22＋22，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8 得a＝1，∴P点的坐标为 (1,0,0)．(2) 设M(x,0，z) ，由题意，得x－1222z＋12＝x－22z－22，整理得 2x＋ 6z－2＝ 0，即x＋ 3z－1＝ 0. ∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．12．如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为4 的正方形，PD⊥面ABCD，设PD＝43，M为PB的中点，N段AB上，求当 |MN| 最短时，N点所处的位置．4 解建立如图所示的直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，P(0,0,43) ．∵M点为PB的中点，∴M(2,2,23) ．又N段AB上，∴N(4，b,0)(0 ≤b≤4)．∴|MN| ＝22b－22232. ∴当b＝2 时|MN|min＝4＋12＝4. 此时N为AB的中点，∴当N为AB的中点时 |MN| 最短．思 维 探 究13．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0 ，－ 3) ，试问：(1) 在y轴上是否存在点M，满足 |MA| ＝|MB|? (2) 在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．解(1) 假设在y轴上存在点M，满足 |MA| ＝ |MB| ，因M在y轴上，可设M(0 ，y,0) ，由|MA| ＝|MB| ，可得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA| ＝|MB|. (2) 假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形． 由 (1) 可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB| ，所以只要 |MA| ＝|AB| 就可以使得△MAB是等边三角形．因为 |MA| ＝02y202＝10＋y2，|AB| ＝32023－12＝20，于是10＋y2＝20，解得y＝±10. 故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为 (0，10，0) ，或 (0，－10，0) ．。