高数同济44有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分.ppt

§5.4 §5.4 有理函数、三角函数及一些有理函数、三角函数及一些无理函数的不定积分无理函数的不定积分 0 有理函数的积分0 三角函数有理式的积分0 无理函数的积分引例由于由于解解所以所以例例1111 求求P196-8两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数. .一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式R R( (x x) )是是真分式真分式；；R R( (x x) ) 是是假分假分式式. .有理函数的定义：有理函数的定义：假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. . 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和和一个真分式之和. 由代数学定理由代数学定理: Q(x)=b0(x－－a)  …(x－－b)  (x2 +px+q)  …(x2+rx+s) 对于真分式对于真分式:难点难点将有理函数化为最简分式之和将有理函数化为最简分式之和. Q(x)=b0(x－－a)  …(x－－b)  (x2 +px+q)  …(x2+rx+s) （（1 1））分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律有理函数化为部分分式之和的一般规律：：特殊地：特殊地：分解后为分解后为（（2 2））分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为待待定定系系数数法法例例1 1P214-例例1化为最简分式之和.代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2例例3 3整理得整理得例例4 4 求积分求积分 解解例例5 5 求积分求积分 解解三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．一般记为构成的函数．一般记为二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分（万能置换公式）（万能置换公式）例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）解（二）解（二） 可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上二种解法比较以上二种解法, 便知万能置换不一便知万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法, 故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换.令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:令三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分例例1010 求积分求积分解解 令令P217-8例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , •作业•P218-2,3,6,8•12,13,15•18,19练习练习解解。