第三章-3.1-3.1.1-第一课时-函数的概念(一).doc

第三章 函数的概念与性质 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用1.早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“幂”.2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数.[读图探新]——发现现象背后的知识　函数的概念(图一)　　　　　　　　　函数的表示(图二)　　　　　　函数的最值(图三)　　　　　　　　　函数的奇偶性(图四)问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？问题3：天安门是轴对称图形，联想一下：如何用自然语言描述函数的图象特征呢？链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图象法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.3.1　函数的概念及其表示3.1.1　函数的概念第一课时　函数的概念(一)课标要求素养要求1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养；2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.教材知识探究某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g取9.8 m/s2.问题1　时间t和物体下落的距离s有何限制？提示　0≤t≤3，0≤s≤44.1.问题2　时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？提示　确定.问题3　下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？提示　不能.函数的概念　注意函数概念中的任意性、唯一性概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}教材拓展补遗[微判断]1.函数的定义域和值域一定是无限集合.(×)提示　函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(×)提示　根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.(×)提示　在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.[微训练]1.函数y＝的定义域是________.解析　只需满足x－1≥0，∴x≥1.答案　{x|x≥1}2.若f(x)＝x2－，则f(3)＝________.解析　f(3)＝9－＝9－2＝7.答案　7[微思考]1.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示　确定，一一对应.2.如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？提示　不确定，例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.题型一　函数关系的判断 【例1】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个(2)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(　　)A.f：x→y＝x B.f：x→y＝xC.f：x→y＝x D.f：x→y＝x解析　(1)①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.(2)根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确.答案　(1)B　(2)D规律方法　1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.2.判断一个对应关系是否为函数的方法【训练1】　(1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是(　　)A.① B.② C.③ D.④解析　(1)A中的定义域不是{x|－2≤x≤2}，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是{y|0≤y≤2}，故选B.(2)只有y＝|x|是符合题意的对应关系，故选D.答案　(1)B　(2)D题型二　求函数值 【例2】　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值.解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.规律方法　求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.【训练2】　已知函数f(x)＝.(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f＝＝.题型三　求函数的定义域 【例3】　求下列函数的定义域：(1)y＝(x－1)0＋；(2)y＝＋.解　(1)要使函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}.规律方法　当函数解析式较复杂，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域.【训练3】　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　)A. B.{x|x>1}C. D.(2)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为(　　)A.{x|x>2} B.{x|x<2}C.{x|x≤2} D.{x|x≥2}解析　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得即x≥且x≠1，故选C.(2)自变量x的取值必须满足2－x≥0，即x≤2，∴M＝{x|x≤2}，∴∁RM＝{x|x>2}，故选A.答案　(1)C　(2)A一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算素养.2.函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象.二、素养训练1.下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　)①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数.A.①④ B.②③ C.①③ D.②④解析　根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1.答案　A2.已知函数f(x)＝，则f＝(　　)A. B. C.a D.3a解析　f＝＝3a.故选D.答案　D3.下列函数中定义域为R的是(　　)A.y＝ B.y＝(x－1)0C.y＝x2＋3 D.y＝解析　A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.故选C.答案　C4.函数f(x)＝的定义域为(　　)A. B.C. D.解析　要使f(x)有意义，只需满足即x≤且x≠0，故选D.答案　D5.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　)解析　A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B.答案　B基础达标一、选择题1.下列四个图形中，是函数图象的是(　　)A.① B.①③④ C.①②③ D.③④解析　由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象.答案　B2.设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是(　　)A.{1} B.{－1} C.{－1，1} D.{－1，0}解析　若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02B，故选D.答案　D3.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是(　　)A.①② B.①④ C.①②④ D.③④解析　根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B.答案　B4.函数y＝＋的定义域为(　　)A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}解析　由题意可知解得0≤x≤1.答案　D5.四个函数：①y＝x＋1；②y＝x2；③y＝x2－1；④y＝其中定义域相同的函数有(　　)A.①②③ B.①② C.②③ D.②③④解析　①②③中函数的定义域均为R，而④中函数的定义域为{x|x≠0}，故选A.答案　A二、填空题6.若f(x)＝，则f(1)＝________.解析　f(1)＝＝.答案　7.已知函数f(x)＝，f(a)＝3，则实数a＝____________.解析　f(a)＝＝3，∴a＝12.答案　1。