高考数学总复习 第2节 矩阵的逆变换与逆矩阵、矩阵特征值与特征向量课件 新人教A版选修42.ppt

第二节　矩阵的逆变换与逆矩阵、矩阵特征值与特征向量1．理解矩阵的逆变换与逆矩阵，并会简单应用．2．理解二阶矩阵的特征值和特征向量，并会简单应用．一、逆变换与逆矩阵1．逆变换(1)设A是平面上的变换，如果存在平面上的变换B，使BA与AB都等于 ，就称变换A是可逆变换，B称为A的逆变换，记作B＝A－1，反过来，B也是A的逆变换，此时B－1＝A.恒等变换I(2)如果A，B是线性变换，A，B分别是A，B的矩阵，则AB，BA分别是AB，BA的矩阵，由AB，BA是恒等变换对应的矩阵，AB，BA等于 (注：单位矩阵有时也可用E表示)．(3)判断给定的一个变换矩阵，判断该变换是否为可逆变换，主要依据逆变换的定义及其矩阵形式，清楚6种常见的平面变换是否为可逆变换．单位矩阵I2．逆矩阵(1)对于二阶矩阵A，B若有 ，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记作B＝A－1，这时矩阵A也是B的逆矩阵，即A＝B－1.(2)若矩阵A有可逆矩阵A－1，则AA－1＝A－1A＝ 且A－1是 的．(3)若矩阵A是可逆的，则有(A－1)－1＝ .(4)单位矩阵一定是 的，零矩阵是 的．(5)在可逆矩阵M作用下，平面上不同向量(或点)的象必 ．AB＝BA＝EE唯一可逆不可逆A不同(6)把平面上两个不同向量(或点)变成相同向量(或点)的矩阵，一定没有 ．(7)若 二 阶 矩 阵 A、 B均 可 逆 ， 则 AB也 可 逆 ， 且 (AB)－ 1＝ .(8)已知A、B、C为二阶矩阵，且AB＝AC，若A是可逆的，则 ．逆矩阵B－1A－1B＝Cad－bc 乘积 乘积 Δ≠0 线性 无解 无穷多个解 四、矩阵变换的特征值与特征向量1．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个 向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值(eigenvalue of a matrix)，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被换成了零向量．非零λ2－(a＋d)λ＋ad－bc 2．(AB)－1＝(　　)A．A－1B－1 B．B－1A－1C．(BA)－1 D．以上都不对答案：B【特别提醒】(1)(AB)－1＝B－1A－1.要注意矩阵乘法不满足交换律．(2)求A－1时，要注意det A≠0.(3)求特征多项式的根，也就是使特征多项式等于0的λ值，就是特征值． (4)将求出的每一个特征值代入特征矩阵，解以它为系数的二元一次方程组，得到的非零解对应的向量即为所求矩阵A的特征向量．错源：错用公式致误【心得】对于矩阵来说，矩阵A的一个特征向量只是属于A的一个特征值；属于矩阵A的不同特征值的特征向量相互之间一定不共线．如果α是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kα也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量. 。