高考第一轮复习数学：13.2导数的应用.doc

13.2 导数的应用●知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求（x）.（2）确定（x）在（a，b）内符号.（3）若（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求（x）.（2）（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.●点击双基1.函数y=x2（x－3）的减区间是A.（－∞，0） B.（2，+∞）C.（0，2） D.（－2，2）解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得00且b∈RC.a<0且b≠0 D.a<0且b∈R解析： （x）=2ax，x<0且（x）<0，∴a>0且b∈R.答案：B3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］A.在（－2，0）上递增 B.在（0，2）上递增C.在（－，0）上递增 D.在（0，）上递增解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，（x）=4x3－8x，令（x）>0，得－，∴F（x）在（－，0）上递增.答案：C4.在（a，b）内（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.答案：充分●典例剖析【例1】 设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.解： （x）=3x2－6ax+2b，由题意知即解之得a=，b=－.此时f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1）.当（x）>0时，x>1或x<－，当（x）<0时，－1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数.依题意，当x∈（1，4）时，（x）<0，当x∈（6，+∞）时，（x）>0，∴4≤a－1≤6.∴5≤a≤7.∴a的取值范围为［5，7］.评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.●闯关训练夯实基础1.已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是A.0 B.1 C.2 D.3解析：（x）=3x2－a在［1，+∞)上，（x）≥0恒成立，即a≤3x2在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3.答案：D2.已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有A.3个 B.2个 C.1个 D.0个解析：（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，（x）>0，∴f（x）在［1，2］上单调递增.∴f（x）≥f（1）=7.∴f（x）=0在［1，2］上无根.答案：D3.函数f（x）的导函数y=（x）的图象如下图，则函数f（x）的单调递增区间为________.解析：在［－1，0］和［2，+∞)上，（x）≥0.答案：［－1，0］和［2，+∞)4.若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________.解析：y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0.答案：b>05.设函数f（x）=x3－ax2+3x+5（a>0），求f（x）的单调区间.解：（1）（x）=3x2－ax+3，判别式Δ=a2－36=（a－6）（a+6）.1°00对x∈R恒成立.∴当06时，Δ>0，由（x）>0x>或x<.（x）<00，f（x）为增函数；在［－，1］上（x）<0，f（x）为减函数.所以所求f（x）的单调增区间为（－∞，－]和［1，+∞)，单调减区间为［－，1］.（2）当x∈［1，2］时，显然（x）>0，f（x）为增函数，f（x）≤f（2）=7.∴m>7.培养能力7.已知函数f（x）=x3－ax－1.（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f（x）=x3－ax－1的图象不可能总在直线y=a的上方.解：（x）=3x2－a，（1）3x2－a>0在R上恒成立，∴a<0.又a=0时，f（x）=x3－1在R上单调递增，∴a≤0.（2）3x2－a<0在（－1，1）上恒成立，即a>3x2在（－1，1）上恒成立，即a>3.又a=3，f（x）=x3－3x－1，（x）=3（x2－1）在（－1，1）上，（x）<0恒成立，即f（x）在（－1，1）上单调递减，∴a≥3.（3）当x=－1时，f（－1）=a－20，得x∈（－，0）∪（，+∞），则f（x）的单调递增区间为（－，0）和（，+∞）.9.已知函数f（x）=2ax－x3，a>0，若f（x）在x∈（0，1］上是增函数，求a的取值范围.解：（x）=2a－3x2在（0，1]上恒为正，∴2a>3x2，即a>x2.∵x∈（0，1]，∴x2∈（0，].∴a>.当a=时也成立.∴a≥.探究创新10.有点难度哟！证明方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有一实根.证明：设f（x）=x3－3x+c，则（x）=3x2－3=3（x2－1）.当x∈（0，1）时，（x）<0恒成立.∴f（x）在（0，1）上单调递减.∴f（x）的图象与x轴最多有一个交点.因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根.●思悟小结1.（x）>0f（x）为增函数（（x）<0f（x）为减函数）.2.f（x）是增函数（x）≥0（f（x）为减函数（x）≤0）.●教师下载中心教学点睛1.可导函数f（x）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f（x）在x0处连续，在x0两侧的导数异号，那么点x0是函数f（x）的极值点.2.求可导函数f（x）的极值的步骤如下：（1）求f（x）的定义域，求（x）；（2）由（x）=0，求其稳定点；（3）检查（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f（x）在这个根处不取极值.3.求可导函数f（x）的最值的方法：（1）求f（x）在给定区间内的极值；（2）将f（x）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.拓展题例【例1】 若函数f（x）=ax3－x2+x－5在（－∞，+∞）上单调递增，求a的取值范围.解： （x）=3ax2－2x+1>0恒成立.∴即∴a>.当a=时，f（x）在（－∞，+∞）上单调递增.∴a≥.【例2】 求证：x>1时，2x3>x2+1.证明：令f（x）=2x3－x2－1，则（x）=6x2－2x=2x（3x－1）.当x>1时，（x）>0恒成立.∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.又∵f（1）=0，∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1.。