2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及问题详解详解.doc

word2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设是数列下列命题中不正确的是（）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则【答案】（D）（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3）若级数在处条件收敛，则与依次为幂级数的（）（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点【答案】（A）【解析】因为级数在处条件收敛，所以，有幂级数的性质，的收敛半径也为，即，收敛区间为，则收敛域为，进而与依次为幂级数的收敛点，收敛点，故选A4）下列级数发散的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】（A），，存在，则收敛B)收敛，所以（B）收敛C），因为分别是收敛和发散，所以发散，故选（C)D)，所以收敛5）设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为（）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【解析】有无穷多解，即，从而当时，从而时有无穷多解当时，从而时有无穷多解所以选D.（6）二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，在正交变换下的标准型为（）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】由已知得，，从而，其中，均为初等矩阵，所以选A。

7）若为任意两个随机事件，则（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】排除法若，则，而未必为0，故，故错若，则，故错8）设总体为来自该总的简单随机样本，为样本均值，则（A）（B）（C）（D）【答案】（B）【解析】二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上)．（9）_____.【答案】【解析】 (10)_______.【答案】【解析】 (11)若函数有方程确定，则_______.【答案】【解析】对两边分别关于求偏导，并将这个代入，得到，所以12）设是由与三个坐标平面所围成的空间区域，则【答案】【解析】由对称性，其中为平面截空间区域所得的截面其面积为所以：(13) 阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得（14）设二维随机变量服从正态分布则【答案】.【解析】由故独立三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）设函数若与在时为等价无穷小，求的值解析】由题意，（16）计算二重积分，其中解析】，其中，则17）已知函数曲线求在曲线上的最大方向导数【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模模为此题目转化为对函数在约束条件下的最大值，即为条件极值问题。

本问题可以转化为对在约束条件下的最大值，构造函数故最大值为3.（18）设函数在定义域上的导数大于0，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式解析】解得：分离变量可得：因为所以综上19、已知曲线的方程为，起点为，终点为计算曲线积分【解析】由题意假设参数方程（20）向量组是的一个基，（Ⅰ）证明为的一个基；（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.【解析】（Ⅰ）证明：是的一个基线性无关，即又=3线性无关，为的一个基（Ⅱ）由已知设有非零解，所以从而（21）设矩阵相似于矩阵1） 求的值2） 求可逆矩阵，使为对角矩阵解析】（1）由（2） 由（1）得，其中特征值，当时，解方程的基础解系为；当时，解方程的基础解系为，从而，因为线性无关，所以令可逆，即，使得22） 设随机变量的概率密度为，对进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现为止，记的观测次数1） 求的概率分布2） 求解析】（1），所以的概率分布为（2）令，，，（23） 设总体的概率密度为，其中为未知参数，为随机样本1） 求的矩阵估计量；（2）求的最大似然估计量解析】（1）2）设为观测值，则，，取。