2023年题库线性代数.pdf

行列式一、选择题1 . 3 阶行列式0 -11-101中第二行第一列元素的代数余子式A2 产 （）（ 容易）-101A. -2B. 1C. -1D. 201 - -11, -1o1-12. 行列式1 -101中第二行第一列元素句 的代数余子式4 2户 （）（ 中档）-11 - -10A. -2B. -1C. 1D. 2a\2a\32 %i 2 q 2 2 a ”3.设行列式3a22a23=4,则行列式a2] a22 23 = （ ）（容易）31〃32〃333a3i 3a32 3a33A.1 2B.2 4C.36D.48a1% 3-2a]2 — 3 %4 . 设行列式生I 022a23=2,则一% 2% 2 - 3 / 3 =（ ）（ 容易）a1 43233一 3 1 2 32 — 3〃33A. -1 2B. -6C. 6D. 1 2a1《2《33 " 3a]2 Ba *5 . 设行列式1 022〃23=2,则 -a3l -a32 一/ =（ ）（ 较难）a1 a32a33〃21 _ 〃3】a22 ~ 〃32 〃23 一 033A. -6B. -3C. 3D. 6（ 较难）6 . 设行列式。

产aa\a2b仄b2c + ac2 +a2，£> 2 =a囚a2b c% h c2，则 D i= (A. 0C. 26x yz2 x 2 ) 2 zB. D2D. 3D27 .设行列式4 01 1A.23C.2311 ,则行列式h11= (B.lD.§3）（ 难 ）8. 设 A 为三阶矩阵，A.-9C.1且甲= 3 , 贝 i j卜34=( ) ( 较难)B.-lD.99. 设 A 为 3 阶矩阵，A. -8C. 2| A| =1 ,则卜2 AT | =()( 较难)B. -2D. 81 0 .设 A 为 3 阶方阵，且A.-32C.81 2 5= 4 , 则 卜 2 A| 二 () ( 中档)B.-8D.321 1 .已知行列式12A.-3C.235- 2akx= 0 , 则数 二+ z = 0()(中档)B.-2D.31 2 .若齐次线性方程组＜A.-22 x + 6 +k x -2 y +z = 0z = 0有非零解，B.-l则 k=( )）（ 容易）c.oD.2xi+x2+x3=413 .已知非齐次线性方程组（ 玉 + / + 忍 = 3 无解，则数斫（）2% + 2ax2 - 4D. 1二、填空题1 1 114 , 2 4 6 = （ 中档）4 16 369 8 7 615.22 32 4223 33 43（ 较难）1 2 3 42007 200816.2009 2010（ 较难）1 2 317. 11 12 13 = （ 较难）101 102 1032 1 018 . 若 1 3 1 = 0 ,则仁 （ 中档）k 2 1l - k -219 . 若 = 0 ,则仁（ 容易）2 k - l2 0 . 已 知 行 列 式1 1% 十%% -伉a2 - b2„, a, b、则Ia2 b2_ _ _ _ _ _ （ 容易）21 . 四阶行列式中，项 的1。

2214的符号是 （ 中档）22 .四阶行列式中具有因子0 3的1的项为 （ 较难）3 0 4 023 .行 列 式 :1 11 中第4 行各元素的代数余子式之和为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （ 难）（ 3—1 （ ）（ ）5 3 - 2 2则 7 Ai 2 +9A 22+3A 32+6A 42=x al 2 3 72 4.设 Ai 2 ( i =l ,2 ,3,4) 是行列式y a2 2 8 9中元素配的代数余子式,z a32 2 3w a42 9 62 5.设3 阶行列式 3的第2列元素分别为1 , -2 , 3 , 相应的代数余子式分别为-3, 2 , 1 , 则£>3= （ 较难）kx+ y + z = 52 6.已知非齐次线性方程组, x + 6 - z = 3 有无穷多个解，则 1 <=2x - y + z = 7三、计算题0 1 2 02 7 .计算4 阶行列式D=1 0 1 2（ 一般）2 1 0 10 2 1 0abc2 8 .计算3 阶行列式D=a2 h2c2（ 一般） + a3 b+b3c + c31122 9 .计算4 阶行列式D=121（ 较难）1 2 1121135-123 0 . 计算4 阶行列式列=-415230-31（ 较难）20 -34四、分析、证明题1 2 3 431 .计算4 阶行列式D=2 3 4 1（ 较难）3 4 1 24 1 2 332 . （较难）设a、b、c是互异的实数，证明aa3b cb3 c30的充要条件是a +b +c =O33..设 /( x) =X2312犬+22 + x44-x，试证明方程f（ x） = O有小于1的正根.（较难）34.问 。

为什么值时，线性方程组《%） + 2X2 + 3%3 = 42 / + 工3 = 2有惟一解？有无穷多解？ （ 较难）2 再 + 2X2 + 3 % = 635.设非齐次线性方程组V2玉 + X2 + X3 = 1 ,2+ 4 / + / = % 拟定当入取何值时,， 方程组有惟一解、 无解、元 ］ + ，有无穷多解？ （ 较难）矩阵一、选择题1 .设二阶矩阵A = /b| , 则A * = (( c d)）（ 易）A.'- d b、c -a2 .设A与8均 为 〃 可 逆 矩 阵 ，则下列各式中不对的的是（）（ 易）A .（ A + B ）r = A1' + Br B . （ A + B ）-' = A'' + B-'C. （ A B ）-' =B^'A-' D . （ A B ）f = B'3 .设A与8均为〃 x" 矩阵，满足= 则必有（）（ 中档）A. A = 0或5 = 0 B. A + B ^ O C .网 = （ ） 或忸| = （ ） D .网 + 忸| = 04 .设〃阶方阵A,8 ,C满足A 3 C = E ,则 必 有 （ ）（ 中档）A. A C B = E B. CBA = E C. B A C = E D. B C A = E5 .设A为〃阶方阵，且满足A 5 = A C ,则下列结论对的的是（ ）（ 中档）A. A = O B. BHC ,则 A = O C. A w。

则 B = C D.同 0 ,则 B = C6 .设A, B, C 为同阶方阵，则(ABC) T= () ( 易)A. B. 加41 C.D./PZ^T7 .设A, B, C 为同阶可逆方阵，则 （ A 5 C ）-'=（ ）（ 易）A. A 'B 'C ' B. C 'B 'A1 21T1 2 .设 A = （ — 1 ,1 ,3） , B = （ 2 ,—,-1 ） , 则 475= （ 易）21 3.设 A = （ ： = 1 ） ,则当 满足 时，AB = BA （ 较难）1 4.已知a = （ 1 ,2 ,3） ,尸= （ 1 , ；, g ） ,设A = // 淇 中 a， 是a的转置， 则 A" ='a a 1 、1 5.设A = a \ a , 则当a满足条件 时，A 可 逆 （ 易）J a %C. C'A 'B ' D.A 'C'B '8 .设 A 是可逆矩阵，且 A + A B = E , 则 A - i= （ ）（ 易）A. 1 + B B. E + B C. B D. （E+AB）~ '9 .设 A 是〃阶可逆矩阵，人是不为。

的常数，贝 I （ " ）T=（ ）（ 易）A. kA~' B. — A-1 C. -kA~' D. -A ''knk1 0 . 设 A 和 B 均为〃 X ” 矩阵， 则 必 有 （ ）（ 中档）（A） |A+B| =|A| +忸 I （B）AB=BA（C） |A B| =|B A| （D） （A+B）-1 = A-| + B-|二、填空题, （2 4 n f -1 3 n , u1 1 .设 A = , B = ， 则 3A — 2B = （ 易）（ 0 3 5 ） （2 0 5）(10 0 、1 6. 设 3 阶矩阵A = 2 2 0 , 则 A*A= （ 易）、 3 3 3,1 7 . 已知〃阶方阵A 可逆，贝"A] =, （ A* ） -： （ 中档）1 8 .设 A, 5 均为〃阶矩阵,| A| = 2 ,忸 | = — 3 ， 则 | 2 A* b |= （ 难）1 9 .设矩阵A 满足A? + A — 4 E = O ,其中E 为单位矩阵， 则（ A - 6 尸 = （ 中档）1 -12 0 .设矩阵4 = ,B = A2-3A + 2E,^\B-' = ( 中档)2 3三、计算题’1 1 r2 1 .设 A = -1 1 1T 2 1、8= 1 3 -1 , 求 ( A-8 ) ( A + 8 ) 及(中档)3 1 2 ,’1 3 7 、2 2 .设 A = — 2 2 3< 6 - 4 1 ,‘ 1 2 3、2 3 .设 A = 1 1 1、 3 1 L’ -1 2 4 、B= 1 -3 -1 , 求 2 A - 3 6 和 A / B . ( 中档)、 5 1 2),1 -1 1 、( 1 ) 求 A i； ( 2 ) 设 A X= 1 1 03 1 4,求 X. （ 中档）' 0 12 4.若 A X + B = X, 其中 A = -1 1<-1 o0 ] p1 , B = 2-J卜- P0 , 求 X ( 较难)- 3>2 5.设3 阶方阵A 的随着矩阵为4 * , 且| A| = g, 求| （ 3A） T - 2 A [ . （ 中档）2 6.已知A P = ~ B , 其中' 1 0 0 、‘ 1 0 0 、B =0 2 0, P =2- 10〈 0 0 -1 ；( 2 1 1 ,求 4 及 A t（ 难 ）四、证明题2 7 .已知”阶方阵A满足矩阵方程A? — 3A —2 E = 0 .证明A可逆， 并求出其逆矩阵/T .( 中档)2 8 .已知对于n阶方阵A， 存在自然数k， 使得A* = 0 .试证明矩阵E - A可逆,并写出其逆矩阵的表达式( £ 为〃阶单位阵) .( 较难)2 9 .设A是〃阶矩阵， 满 足A4, = E ( E是 〃 阶 单 位 矩 阵 ,是A的转置矩阵) ,同 <( ) ， 求| A+/] .(较难)30 .设n阶矩阵A和8满足条件A + B = AB.( 1 )证明A - E为可逆矩阵；'1 -3 0、( 2 )已知6 = 2 1 0， 求矩阵A0 2 ,向量组的线性相关性一、选择题1 . 设3阶 方 阵A = [ % , % ■ ] ,其 中 见 « = 1 2 3 )为A的 列 向 量 ， 若忸忤| 因+ 2 a 2 ， % ， %卜6 ,则 同 = ( ) ( 较易)A.-1 2 B. -6 C. 6 D. 1 22 .设A = \ai,a2,ay] ,其 中a ,( i = l ,2 ,3)是 三 维 列 向 量 ， 若 同=1 ,则| 4a ,,2 a , -3a2,a3| = () ( 中档)A. -2 4 B. -1 2 C. 1 2 D. 2 43 .设 向 量 组a尸( 1 , 2 ) , a2= ( 0 , 2 ) , 4 = ( 4, 2 ) ,则 ( )(中档)A. a ,,a2, 4线性无关 B .夕不 能 由 % ,a 2线性表达C . 4可 由 线 性 表 达 ，但表达法不惟一D . 4可 由a ” a 2线 性 表 达 ，且表达法惟一4 . 设囚,4 ， L 为〃维向量，下列结论对的的是（） （ 较难）A . 若左乌+网。

2 + 1 + £ “ a " = 0 ’则线性相关B . 若任意一组不全为零的数匕， 无 2 ,…& ,有 Si+% 2 % +L + （ “ ％产则，， 的,L 线性无关C . 若线性相关，则 对 任 何 一 组不全为零的数勺& ， …， 心有k9] + k2a2 +L + kmam = 0D . 若Oa + O%+ L+ 0 % , = 0 , 则a” a2 ， L 线性相关5 . 下列命题中错误的是（ ）（ 较易）A . 只具有一个零向量的向量组线性相关B. 由3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C . 由一个非零向量组成的向量组线性相关D . 两个成比例的向量组成的向量组线性相关6 .设名,1 2 ， 3 ， %是三维实向量，贝 I（ ）（ 较易）A. %, %， 3 ， 4 一定线性无关C. % ,1 2 ， %， 4 一定线性相关7 . 已知向量组囚, 2 ， 3 线性无关,A. 四必能由 2 ,% ,夕线性表出C.必能由四, 2 , P线性表出B .% 一定可由4， %， %线性表出D . 一定线性无关夕线性相关，则 （ ）（ 较易）B . %必能由四， 4 £ 线性表出D. 夕必能由% ,。

2 ， %线性表出8 .设〃维列向量组% %， L , 4（ 加 ＜ 〃 ） 线性无关,则〃维列向量组凡⑸,L ,总线性无关的充足必要条件是（）（ 难）A . 向量组%, %L 可由向量组4, 4L， 乩线性表达B . 向量组幺〃2 ， L ,凡 可 由 向 量 组 ， ％„线性表达C . 向量组四,里1 电 与向量组尸i ， &L， & 等价D . 矩阵A = @ ,a2 ， L ,4 ,） 与矩阵8 =（ 凡 4 L ,凡） 等价9 .设向量组（I ） a1 ,a? ,L , % 可由向量组（ I I ） 凡 &L应线性表达， 则（） （ 中档）A .若向量组（I ）线性无关，则Ys；B.若向量组（I ）线性相关，则「 ＞6 ；C .若向量组（ I I ）线性无关，则r W s ；D . 若向量组（ H）线性相关，则1 0 . 已知£i ，△是Ar = 人的两个不同的解，a\ . a? 是相应齐次方程组4 r = 0 的基础解系，匕，也是任意常数，则­ = 匕的通解是（）（ 较难）A. % 乌 + 女2 ( q + %) + ' ' )C. & 乌+左2 ( 4 —B . k©i +& 2 ( « _ % ) + 'D . % 乌 + 左2 (河—夕2 ) + - --二、填空题1 1 .设a = ( L 1 , T ) , 夕= ( -2 , 1 , 0 ), /= ( -1 , -2 , 1 ),贝 1 3 a — 夕+ 5y=.( 较易)1 2 . 设向量a= ( 6 , -2 , 0 , 4 ), p = ( -3 , 1 , 5 , 7 ),向量丫满足 2 a+y = 3 B ， 则1-•1 3 . 已知向量组% = （ 1 , 七-3 ） ,a? = （ 2 ,4 ,-6 ） 线性相关，则数公. （ 较易）1 4 .已知向量组% = （ 1 , 2 , 3 ） , %=⑶T ，2 ） , %=（ 2 , 3 , k）线性相关,则数A. （ 中档）1 5 .已知向量组% = （ 1 , 2 , 3 ） , % = （ 3 , -1 , 2 ） , %=（ 2 ，3 , k）线性无关，则数A. （ 中档）1 6 .设向量组四，a2, e r ； 线性无关，则向量组/% - %，加 （“一 % ，线性无关的充足必要条件是常数/,相 满 足 条 件 。

难）1 7 .设线性无关的向量组四, 2 ,…，％可由向量组四， 人， …,A 线性表达，则 r 与s 的关系为. (中档)1 8 . 已 知 向 量 组 % = ( 1 ,2 ,-1 ),% = ( 2 ,0 ,， ),% = ( 0 ,-4 ,5 )的 秩 为 2 ,则数t=. ( 中档)1 9 .向量组( Z |= ( 1 , 2 , 0 ), a2= ( 2 , 4 , 0 ), a3= ( 3 , 6 , 0 ), a4= ( 4 , 9 , 0 )的秩为. ( 中档)2 O .n 阶矩阵A 的各行元素之和为0 ,且R( A)= n -l ,则方程组Ar = O 的通解为_ _ _ .( 较难)三、解答题-2 2 1 4 J2 1 . 把向量£ = 表达成向量组% = ,a2 = ,a3 = 的线性组合.( 简朴)2 2 .设囚( 1 ) 为什么值时，£ 不 能 由 线 性 表 达 ；( 2 ) a 为什么值时，夕能由4， 2 ， 3 ， 4唯一的线性表达，并写出线性表达式.( 较难)2 3 .拟定常数a , 使向量组q= ( 1 1 « )r,a2 = ( 1 a l )r,a3 = ( o 1 1 )， 可由向量组用= ( 1 1 a),尾 = ( -2 a 4 )r,^= ( -2 a a)， 线性表达，但是向量组片血， 夕 3 不能由向量组? ， ， %线性表达。

难)2 4 . 设向量组％ = ( 1 ,3 ,0 , 5 尸,a2 = ( l ,2 , 1 ,4 )T, a3 = ( l , 1 ,2 , 3 )T, a4 = ( l ,0 , 3,k)\拟定在的值，使向量组四,% ， 3 ， 4 的秩为2 , 并求该向量组的一个极大线性无关组.( 简朴)25.设 向 量 组 % = （ 2, 1, 3, 1尸，% = （ 1, 2, 0, 1）T, a3 = （ -l, 1,-3, 0）T, a4 = （ l, 1, 1, 1）T,求 向 量 组 的 秩 及 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 并用该极大线性无关组表达向量组中的其余 向 量 . （ 中 档 ）x} -8X2 + 10玉 + 2几= 026.求 齐 次 线 性 方 程 组 卜 七+ % + 5工3 7 4 = 0的 基 础 解 系 与 通 解 .（ 中 档 ）3% + 8X2 + 6X3 - 2X4 = 0x, +x2 = 527 .求 非 齐 次 方 程 组2 5 + 9 +七 + 2〜 =1的 通 解 及 相 应 的 齐 次 方 程 组 的 基 础5 玉 + 3X2 + 2X3 + 2X4 = 3解 系 . （ 中 档 ）四 、证明题28 .设 % , % ,线 性 无 关 ，证 明 % , % + 2a2, % + 3a3也 线 性 无 关 .（ 简 朴 ）29 .已 知 向 量 组 四 , % , % 线 性 无 关 ，证 明 ： 向 量 组4 + 3a2,2a2+3。

3，2a? + 外线性 无 关 .（ 简 朴 ）30 .设 " 维 向 量 组（ I） ： a,,a2,L ,ar ；向 量 组（ H） ： = a ,-a2,/32 = a2- a3,L ,A-l = ar-l ~ ar » 3 = % + % ,证 明 ：R（ I） =R（ II） o （ 较 难 ）线性方程组一、选择题1.已知才是一个3X4矩阵，下列命题中对的的是（ ）（ 中档）A.若矩阵4中所有3阶子式都为0 ,则 秩（ 4） =2B.若1中存在2阶子式不为0 ,则 秩（ 4） =2C.若 秩（ 4） = 2 ,则 /中 所 有3阶子式都为0D.若 秩（ 4） = 2 ,则A中所有2阶子式都不为02. 设{ 为矩阵，赭n ,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充足必要条件是A的秩（ ）（ 中档）A .小于mB .等于mC .小于nD .等于n3 . 设 1是 n阶方阵，若对任意的n 维向量/均满足4 斤0 , 贝 U （ ）（ 中档）A. A=0 B . A=E C . 秩 C4 ） = n D . 0 〈 秩 （ 4 ） ＜ n4 . 设 " 为 0 义〃矩阵，且则齐次方程4 虑0必（ ）（ 较难）A . 无解 B. 只有唯一解 C . 有无穷解 D . 不能拟定+ 2 x? — & = 4 - 15 .若方程组1 3%- 七 = 4一2 有无穷多解，则几二（ ）（ 较难）2X2-X3 =（ 2 - 3 ） （ 2- 4） + （ 2 - 2 ）A. 1 B .2 C. 3 D . 4$ + 々 + / =46 .已知线性方程组（ 玉+ %+ &=3 无解，则数无（）（ 中档）2 % + 2ax2 = 41A.—— B . 021C.一D . 1x3 = 2 — 3（ 丸—1 ） - ^3 = _ （ 九一3 ） （ 4一1 ）& + / + 无 3 = % - 17 .若方程组■2x, 一与 =4 — 2有唯一解，则4 = （）（ 较难）A. 1 或 2B . T 或 3C. 1 或 3D . -1 或-322 x j -x2+x3=08 .设齐次线性方程组卜「 々 - 巧 = 。

有非零解，贝 〜 为 （孙 + 冗 2 + 均=0）（ 中档）A. - 1 B . 0 C . 1 D . 29 . 设a是非齐次线性方程组/ 产力的解， £ 是其导出组/ / 0 的解， 则以下结论对的的（ ） （ 较易）A. a+夕 是 的 解 B . a+ 尸是月产6的解C.夕- 是的解 D . a-£ 是4Y=0的解1 0 . 设力是4 X 6 矩阵，r （ A） =2f则齐次线性方程组月产0 的基础解系中所含向量的个数是（ 中档）A. 1B . 2C . 31 ） . 41 1 . 下列矩阵不是初等矩阵的是（ ）（ 较易）0 0、A. 0 0 1、 0 1’0 o rB . 0 - 1 0J 0 °,'1 0 0、0 - - 02S 0 1J" 1 0 0D . 0 1 -4、 0 0 1二、填空题71 2 . 设线性方程组1, 11a11 % = 1有无穷多个解，则a）\xi） [12,（ 较难）1 3 .设 4为〃阶矩阵，6为〃阶非零矩阵，若 6的每一个列向量都是齐次线性方程组月产0的解，则| 却= .（ 中档）1 4 . 设 %曾 2 是齐次线性方程组力行0 的两个解，则 4（ 3% +7 a 2 ）= .（ 较易）1 5 . 设 n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0 , 且 A 的秩为nT, 则齐次线性方程组Ax= 0的通解为 一 .（ 难）1 6 . 三元方程为+ 四= 1 的通解是 （ 中档）.% + A,X2 + x3 = 01 7 . 设 方 程 组 ,石 + 々 + *3 = 0 有非零解，且数彳＜0,则彳= （ 较难）X 1 + 々 +九七=0'2 0 4 、1 8 . 设A = -Ila, R （ A ） = 2, 求。

中档）J 2 6 ,1 9 . 齐 次 线 性 方 程 组 + * 2 + ? = （ ） 的基础解系所含解向量的个数为[ 2 x）-x2 +3X3 = 0（ 中档）2 0 .矩阵方程"1用「1 ] 的解后.（ 中档）1 0 M U - U -2 1 . 设 3元非齐次线性方程组Ax=b有解a产且 " （ 4 ） = 2 ,则Ax=b的通解是（ 难）22. 若x = *x = 5 为齐次方程组AX = 0 的解，则 x = 为方程组一的 解 . （ 中档）23. 若x = 7 ,x = % 为非齐次方程组AX = 匕的解， 则 x = 7 - 772为方程组的解. （ 中档）三、计算题24 . 求下列齐次线性方程组的基础解系和通解：（ 较难）( 1 ) 《冗 ] + % + 2X3 - x4 = 02x} + x2 + x3 - x4 = 02xl + 2X2 + £ + 2X4 = 0(2) 4X)+ 2X2 + 2X3 + x4 - 02尢1 + 工2 - 2工3 - 2工4 = 0x{- x2- 4X3 - 3X4 = 025 . 用相应导出组的基础解系表达下列非齐次线性方程组的通解：（ 较难）X ] - + 当 + 2犬4 = 1— 2X| + 2X2 — 3刍 + 3% 4 = 2X 1 一冗2 + 2工3 + 5% 4 = -1— Xj + - 3工3 + 2工4 = 426. 求该非齐次线性方程组的通解：（ 较难）% 1 4- x2 - x3 - x4 = 12x1 + 为 + %3 + Z = 44x, + 3X2 -X3-X4=6XJ + 2 ^ 2 — 4 x 5 — 4X4 = - 127,拟定a 的值使下列线性方程组有解，并求其解。

较难）2x} - + 13 + X4 =1% 1 + 2X2 - & + 4X4 = 2% 1 + 7X2 - 4X3 +llx4 = a2 8 .拟定a 的值使下列线性方程组有解，并求其解 难）axx + x2 + x3 = 1,Xj + ax2 + x3 = ax1 + x2 + 0 X 3 = a2,2 + 2X2 + 3X3 = 42 9 . 问 a为什么值时，线性方程组 2 々 + W = 2 有惟一解？有无穷多解？并在有2 %j + 2X2 + 3X3 = 6解时求出其通解.（ 较难）3 0 . 设非齐次线性方程组!x} -v x2 - x3 = 1 ,+ 3X2 + AJC3 = 3X ] + AX2 + 3X3 - 2 ,（ 1 ）拟定当入取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?（ 2 ）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解. （ 难）。