初中数学第17章勾股定理教案及试题.pdf

1 / 第十七章勾股定理基础知识通关17.1勾股定理1.勾股定理如果三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么注意：勾较短的直角边，股较长的直角边，弦斜边勾股定理反映了直角三角形中三边间的关系，因此利用它可以解决有关边长的计算问题，也可以解决与直角三角形有关的一些平方关系的证明问题2.定理： 经过证明被确认正确的命题叫做定理17.2 勾股定理的逆定理3.勾股定理逆定理如果三角形三边长a,b,c 满足，那么这个三角形是直角三角形4. 互逆命题我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 勾股数满足的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍后，仍为勾股数 注意：以勾股数组中的三个数分别为各边长的三角形一定是直角三角形; 勾股数组中的三个数必须是正整数；一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数；即如果 (a ，b，c) 满足勾股定理，那么(ak ，bk，ck) 也满足勾股定理(k 为正整数 ). 记住常用的勾股数组在做题时可以提高速度如:3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13 ；7,24,25 ；本章知识结构图 2 / 一选择题（共10 小题）单元检测1直角三角形两边长分别是3、 4，第三边是（）A5 BC 5 或D无法确定 2如图，数轴上的点A 所表示的数为x，则 x 的值为（）AB C2 D 2 3.如图， Rt ABC 中，ACB 90，若 AB15cm ，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为（）A150cm2B200cm2C225cm2D无法计算4.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）AB CD5以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A3，5，7 B 5，7，9 C3，2，D2，2，2 6下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A1，B3， 4，5 C5，12，13 D2，2，3 7下列数据中是勾股数的有（）组（1）3，5， 7 （2）5，15，17 （ 3）1.5 ，2，2.5 （4）7，24，25 （5） 10，24，26A1 B 2 C3 D4 8我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为 9 ，小正方形面积为 5 ，则每个直角三角形中勾与股的差的平方为( ) A4 B3 C2 D1 9如图，字母B 所代表的正方形的面积是（）A12 B144 C13 D194 10.九章算术是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x 尺，则可列方程为（） 3 / Ax23（ 10 x）2 Bx232（ 10 x）2Cx2+3（ 10 x）2 Dx2+32（ 10 x）2 4 / 二填空题（共 10 小题）11.如图，在边长为1 的正方形网格中，两格点A，B之间的距离d3（填“” ， “=”或 “” ）第 11 题图第 12 题图12.如图，在66 正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，ABC 的顶点都在格点处，则AC 边上的高的长度为cm 13.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦3 世纪，汉代赵爽在注解周髀算经时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方在ABC 中， C90，斜边 AB 13， AC 12，则 BC 的长度为14.如图所示的网格是正方形网格，则PAB+ PBA （点 A， B，P 是网格线交点）第 14 题图第 15 题图15.如图，正方形网格中的ABC ，若小方格边长都为1，则 ABC 是三角形16.观察下列勾股数组：abc6810 815 17 10 24 26 12 35 37 用含有字母a 的代数式分别表示b， c，则 b，c17.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于 1 的整数， a2m ，bm21，cm2+1，那么a，b，c 为勾股数请你利用这个结论得出一组勾股数是18.一块木板如图所示，已知AB4，BC3，DC 12，AD 13， B90，木板的面积为19.小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m ，当他把绳子下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米 5 / 20.勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2 是由图 1 放入矩形内得到的，BAC 90，AB 3 ，AC 4 ，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为三解答题（共 7 小题）21.如图，在四边形 ABCD 中，B D90， AB BC 2，CD 1，求 AD 的长22.如图，方格纸中小正方形的边长为 1 ， ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）边 AC ，AB ，BC 的长；（2）点 C 到 AB 边的距离；（3）求 ABC 的面积 6 / 23（ 1）如图 1 是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式；（2）如图 2 ，RtABC RtCDE ， B D90，且 B，C，D 三点共线 试证明 ACE 90；（3）请利用（ 1）中的公式和图 2 证明勾股定理24.已知某开发区有一块四边形的空地 ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量A90， AB 3m ， BC 12m ，CD 13m ，DA 4m ，若每平方米草皮需要 200 元，问要多少投入？25.一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米到 A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 7 / 四、附加题（共 2 小题）26.阅读下列材料，并回答问题事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理请利用这个结论，解决下面问题：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为（2）如图 1 ，AD BC 于 D，AD BD ，ACBE ，AC 3，DC 1，求 BD 的长度（3）如图 2，点 A 在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2 数轴上画出表示数的 B 点（保留作图痕迹）27.若正整数 a，b，c（abc）满足 a2+b2c2，则称（ a，b，c）为一组“勾股数”观察下列两类“勾股数”：第一类（ a 是奇数）：（ 3， 4，5）；（ 5，12，13）；（ 7， 24，25）；第二类（ a 是偶数）：（ 6，8，10）；（ 8，15，17）；（ 10，24，26）；（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就 a 为奇数、偶数两种情形，用 a 表示 b 和 c，并选择其中一种情形证明（a， b，c）是“勾股数” 8 / 1直角，a2b2c23a2b2c24.互逆命题5.a2 b2 c2 ，正整数一选择题（共10 小题）基础知识通关答案单元检测答案1.【分析】 此题要考虑两种情况：当第三边是斜边时；当第三边是直角边时【解答】 解：当第三边是斜边时，则第三边5 当第三边是直角边时，则第三边故选： C 【知识点】 1 2.【分析】 根据图形特点，求出斜边的长，即得 OA 的长，可求出 x 的值【解答】 解：由图中可知直角三角形的两直角边为：1，1 那么斜边长为：，那么 0 到 A 的距离为在原点的左边，则 x 故选： B 【知识点】 1 3.【分析】 小正方形的面积为 AC 的平方，大正方形的面积为 BC 的平方两正方形面积的和为AC2+BC2，对于 Rt ABC ，由勾股定理得 AB2 AC2+BC2AB 长度已知，故可以求出两正方形面积的和【解答】 解：正方形 ADEC 的面积为： AC2正方形 BCFG 的面积为： BC2在 RtABC 中，AB2AC2+BC2，AB15 则 AC2+BC2225cm2故选： C 【知识点】 1 4.【分析】 根据图形的面积得出 a ，b， c 的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可【解答】 解： A， B，C 都可以利用图形面积得出 a ，b，c 的关系，即可证明勾股定理故 A，B，C 选项不符合题意D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确故选： D 【知识点】 1 5.【分析】 知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是【解答】 解：A、32+5272，不能构成直角三角形，故错误B、52+7292，不能构成直角三角形，故错误C、22+32（）2，能构成直角三角形，故正确 D、22+22（ 2 ）2，不能构成直角三角形，故错误故选： C 【知识点】 3 6.【分析】 欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【解答】 解：A、12+（）23（）2，故是直角三角形，故错误B、42+322552，故是直角三角形，故错误C、52+122169132，故是直角三角形，故错误 9 / ( y x)25 2 2 13 D、22+22832，故不是直角三角形，故正确故选： D 【知识点】 3 7.【分析】 三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可【解答】 解：（ 1）3，5，7 不是勾股数，因为 32+52 72（2）5，15，17 不是勾股数，因为 52+152172（3）1.5 ， 2，2.5 不是勾股数，因为 1.5 ，2，2.5 不是正整数（4）7，24，25 是勾股数，因为 72+242252，且 7 、24、25 是正整数（5）10，24，26 是勾股数，因为 102+242 262，且 10 ，24，26 是正整数故选： B 【知识点】 5 8.【分析】 设勾为 x ，股为y ，根据面积求出xy 2 ，根据勾股定理求出x2 y2 5 ，根据完全平方公式求出x y 即可【解答】 解：设勾为x ，股为y(x y) 大正方形面积为 9 ，小正方形面积为 5 4 1 5 9 2xy 2 x2 y2 5【知识点】 1 y x (x y)2 1 故选：D 1 9.【分析】 外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答【解答】 解：如图，根据勾股定理我们可以得出a2+b2c2 a225，c2 169 b216925 144 因此 B 的面积是 144 故选： B 【知识点】 1 10.【分析】 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（ 10 x）尺，利用勾股定理解题即可【解答】 解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（ 10 x）尺根据勾股定理得：x2+32（ 10 x）2故选： D 【知识点】 1 二填空题（共 10 小题）11.【分析】 根据勾股定理即可得到结论【解答】 解：点A ，B 之间的距离d 故答案为： 3 【知识点】 1 12.【分析】 在 RtABC 中，由勾股定理求得 AC 的长度，然后利用等面积法求得 AC 边上的高的长度【解答】 解：如图，在 Rt ABC 中， AB4cm ， BC 4cm x2 y2 2xy22 32 10 / 由勾股定理知，AC 4 设 AC 边上的高的长度为hcm ，则AB ?BC AC ?h h2 （cm ）故答案是： 2 【知识点】 1 13.【分析】 根据勾股定理进行解答即可【解答】 解：依题意得：。