专题7.6数学归纳法(讲)(解析版).pdf

1 / 15专题 7.6 数学归纳法【考纲解读与核心素养】1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测：利用数学归纳法证明数列问题.4. 备考重点 : （1）数学归纳法原理；（2）数学归纳法的简单应用. 【知识清单】知识点 1数学归纳法1. 证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)( 归纳奠基 ) 证明当 n 取第一个值n0(n0N*) 时命题成立(2)( 归纳递推 ) 假设 nk( kn0，kN*) 时命题成立，证明当n=k+1 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n 都成立2. 数学归纳法的框图表示【典例剖析】高频考点一利用数学归纳法证明等式【典例 1】已知a，b，c，使等式N+都成立，（1）猜测 a， b，c 的值；（2）用数学归纳法证明你的结论. 【答案】（1）； （2）见解析【解析】 (1):假设存在符合题意的常数a，b， c，2 / 15在等式 1?22+2?32+n（ n+1）2=（an2+bn+c）中，令 n=1，得 4=（a+b+c）令 n=2，得 22=（4a+2b+c）令 n=3，得 70=9a+3b+c 由解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3 都有1?22+2?32+n（ n+1）2=（3n2+11n+10） （* ）成立(2) 下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n， （* ）式都成立（1）当 n=1 时，由上述知， （* ）成立（2）假设 n=k（k1）时，（* ）成立，即 1?22+2?32+k（ k+1）2=（3k2+11k+10） ，那么当 n=k+1 时，1?22+2?32+k（ k+1）2+（k+1） （k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1） （k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=3 （k+1）2+11（k+1）+10 ，由此可知，当n=k+1 时， （*）式也成立综上所述，当a=3，b=11，c=10 时题设的等式对于一切正整数n 都成立【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0 是多少(2)注意点：由nk 时等式成立，推出n k1 时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异 )，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归3 / 15纳法【变式探究】（2018江苏高考模拟（理） ）在正整数集上定义函数，满足，且（1）求证：；（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论【答案】（1）见解析（ 2）【解析】（1）因为，整理得，由，代入得，所以（2）由，可得以下用数学归纳法证明存在实数，使成立 当时，显然成立 当时，假设存在，使得成立，那么，当时，即当时，存在，使得成立由，可知，存在实数，使对任意正整数n恒成立【易错提醒】4 / 15数学归纳法的注意事项由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明. 高频考点二利用数学归纳法证明不等式【典例 2】 （2019浙江嘉兴一中高一期中）已知数列na满足12a,*12( 1)nnnaanN（）求证：数列( 1)nna是等比数列；（）比较na与312n的大小，并用数学归纳法证明；（）设12nnnnba a，数列nb的前n项和为nT，若nTm对任意*nN成立，求实数m的取值范围【答案】（）见证明（）312nna（）13m【解析】（）11112112212111nnnnnnnnnnnnnaaaaaa且1130a,1nna是以 3 为首项，2为公比的等比数列，（）由（）知：1132nnna11132+11321nnnnna1321nna312nna, 下面用数学归纳法证明（1）当1n时,3122nna（2）假设当*,nk kN时,312kka, 当1nk时,1311313212112113222kkkkkaak,即当1nk时, 结论成立，由（ 1） （2）得312nna, 5 / 15（）因为1112213 211321nnnnnnnnnba a11221133 21321321321nnnnn011212112112112111332132133 213 213321321323213nnnnT13m【典例 3】 （2020 届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列na满足*11()11,1nnaanNn a. (1) 求23,aa，并猜想na的通项公式 ( 不需证明 ) ；(2) 求证 :*1222()11naaannN. 【答案】 (1) 2311,23aa; 猜想1nan;(2) 证明见解析【解析】(1)2311,23aa猜想1nan(2)1212 2222nannnn12 22121nn22121nn所以12naaa2 13352121nn2211n(2) 方法二用数学归纳法证明: (1) 当1n时，左边11a，右边22 11162，左边右边，不等式成立；6 / 15(2) 假设*()nk kN时，不等式成立，即122211kaaak，那么当1nk时，只要证明121kkaaaa22111k成立，只要证明1221 122111kkak即证122122111kkk只要证明1212 212 22 2311kkkkk即证1212 2411kkk，即证2 221143kkk只要证明221624816249kkkk，显然成立，所以1nk时不等式也成立. 综合 (1)(2)可得对一切的*nN不等式均成立 . 【例 4】 （2020 届浙江省温州市11 月适应测试）已知等差数列na的首项11a，数列2na的前n项和为nS，且12S，22S，32S成等比数列（1）求通项公式na；（2）求证：12111nnnnaaannaaan（*nN） ；【答案】（1）nan； （ 2）见解析【解析】（1）记d为na的公差，则对任意nN，112222nnnnaaada，即2na为等比数列，公比20dq. 由12S，22S，32S成等比数列，得2213(2)(2)(2)SSS，即222(1)2(22)2(1)2q，解得2q，即1d. 所以1(1)naandn，即()nan nN；7 / 15（2）由（ 1） ，即证：111(1)()112nnnNnn. 下面用数学归纳法证明上述不等式. 当1n时，不等式显然成立；假设当()nk kN时，不等式成立，即111(1)112kkkk，则当1nk时，11111(1)11211kkkkkk. 因2211221(1)1(1)01212kkkkkkkkkkkk，故11(1)1(1)121kkkkkkk. 于是111111(1)(1) 1121kkkkk，即当1nk时，不等式仍成立. 综合，得111(1)()112nnnNnn. 所以121()1()1nnnnaaannNnaaan【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1) 适用范围： 当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2) 关键：由nk 时命题成立证nk1 时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1.（ 2018浙江高一期末）已知数列满足，且 使用数学归纳法证明：； 证明：；8 / 15 设数列的前n项和为，证明：【答案】（I ）详见解析； （II ）详见解析； （III）详见解析 . 【解析】当时，故当时命题成立；假设时命题成立，即，当时，注意在单调递增，所以，故，故当时命题成立因此对任意的，有； 由，由 知，故 因为，所以因为，所以，故有，综上所述，2. （2020 届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列na的公比1q，且13542aaa，39a是15,a a的等差中项，数列nb的通项公式1211nnnnbaa，*nN. 9 / 15（）求数列na的通项公式；（）证明：11221nnbbb，*nN. 【答案】（）2nna； （）详见解析. 【解析】（）由39a是1a，5a的等差中项得153218aaa，所以135aaa331842a，解得38a，由1534aa，得228834，解得24q或214q，因为1q，所以2q. 所以，2nna. （）法1：由（）可得122121nnnnb，*nN. 122121nnnnb1112 (2121)(2121)(2121)nnnnnnn112 ( 2121)2121nnnnn112 (2121)21212nnnnnn，2112(2121)nbbb321( 2121)2121nn1121121nn. 法 2：由（）可得122121nnnnb，*nN. 我们用数学归纳法证明. 10 / 15（1）当1n时，1231313b，不等式成立；（2）假设nk（*kN）时不等式成立，即11221kkbbb. 那么，当1nk时，121kkbbbb11122212121kkkk121k11212122(2121)(2121)(2121)kkkkkkk112112( 2121)212kkkkk221k，即当1nk时不等式也成立. 根据（ 1）和（ 2） ，不等式11221nnbbb，对任意*nN成立 . 3. （2018浙江余姚中学高考模拟）设, 对于，有. （1）证明：（2）令, 证明： （I）当时，（II ）当时，【答案】（1）见解析 ; （2） （I ）见解析 ; （ II ）见解析 . 【解析】（1）若，则只需证只需证成立只需要证成立，而该不等式在时恒成立故只需要验证时成立即可，而当时，均满足该不等式. 11 / 15综上所得不等式成立 . （2） 、 （I ）当时，用数学归纳法很明显可证当时，有; 下证：, 只需要证, 只需证只需证, 只需证, 只需证. 由（ 1）可知，我们只需要证, 只需证, 只需证. 当时该不等式恒成立当时，故该不等式恒成立综上所得，上述不等式成立（II ） 、当时，用数学归纳法很明显可证当时，有下证：只需证 : , 只需证：只需证：, 只需证：只需证：, 同理由（ 2）及数学归纳法，可得该不等式成立. 综上所述，不等式成立12 / 15高频考点三归纳、猜想、证明【典例 5】 （2019浙江高二期中）已知正项数列na满足11a，前n项和nS满足2*41nnSanN，（）求234,aa a的值；（）猜测数列na的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】（）2343,5,7aaa； （）见解析【解析】（）当2n时，22241Sa，2224 11aa解得23a当3n时，2233233341,415SaSaaa，当4n时，24441Sa，47a . （）猜想得21nan下面用数学归纳法证明：1,2n时121,3aa，满足21nan. 假设nk时，结论成立，即21kak，则1nk时21141kkSa221114141kkkkkSaaaa，将21kak代入化简得22114kak，121211kakk故1nk时 结论成立 . 综合可知，21nan【典例 6】（2019吉林高考模拟 （理） ）已知数列na满足：11a， 点*1,nnaanN在直线21yx上. （1）求2a，3a，4a的值，并猜想数列na的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想. 【答案】（）2343,7,15aaa;21nna. （）见解析 . 13 / 15【解析】（）因为点*1,nnaanN在直线21yx上所以121nnaa，因为11a，故22 1 13a，32 3 17a，427 115a，由上述结果，猜想：21nna. （）1，当1n时，121 1a成立，2，假设当1,nk kkN时，21kka成立，。