球的切接问题专题.doc

　　 　　 专项:球的切接问题 一．知识点　 1． 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心设正方体的棱长为,球半径为如图1,截面图为正方形的内切圆，得；２与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图,圆为正方形的外接圆,易得3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3,以对角面作截面图得,圆为矩形的外接圆,易得图1图2图34．正四周体的外接球和内切球 图4如图4所示，设点是内切球的球心，正四周体棱长为.由图形的对称性知，点也是外接球的球心.设内切球半径为，外接球半径为．正四周体的表面积．正四周体的体积， 在中,，即,得，得小结:正四周体内切球半径是高的,外接球半径是高的５.长方体的外接球:即正方体的各顶点都在球面上 　设长方体的棱长分别为a,b,c怎么作平面截图来反映半径和边长的关系?2R 联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图 a 　 （４）　 　结论：由图形(4)我们可以发现外接球的半径二、题型与措施归类例1、(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________．本题重要考察简朴的组合体和球的表面积.画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线,因此有球的半径R=，则该球的表面积为S＝4πR2=２7π.故填27π 　(2) 求棱长为1的正四周体外接球的体积．设ＳO1是正四周体S-ＡBC的高，外接球的球心O在SO1上,设外接球半径为Ｒ,AO1=r，则在△ABＣ中,用解直角三角形知识得r＝,从而SＯ1＝＝＝,在Rt△AOＯ１中，由勾股定理得Ｒ2=(-R)2+()2,解得R=,∴V球=πR３=π()３=π.变式练习:1已知各顶点都在一种球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积(　C　)A.16π　　 　　B．20π 　 　 C．2４π D.３2π2已知正方体外接球的体积是π,那么正方体的棱长等于（ D ）A.2　 　Ｂ.　 　 C.　 　 D.解析　由题意知V=πR3=,∴R＝2,外接球直径为４，即正方体的体对角线，设棱长为a,则体对角线l=a=4,a＝.3. 半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为＿_____＿_,体积为_＿＿__＿_＿.【解析】 外切圆柱的底面半径为R,高为2Ｒ,∴S表=Ｓ侧+２S底=２πR·２R+2πR２=6πＲ2,V圆柱＝πR2·2Ｒ=2πR3. 　【答案】　6πＲ２；２πR３例2、已知Ａ、Ｂ、C、D是球Ｏ面上的四个点,ＯA、ＯB、OＣ两两垂直，且OA=1,ＯB=2，OC=３,求球的体积与表面积。

分析:通过将三棱锥补成长方体这种措施叫作补形法解:将三棱锥补成长方体，设外接球的半径为r，则，解得，因此球 的表面积S=变式训练:如图所示,三棱锥P－ABC中，PＡ⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AＣ=,则三棱锥P－ＡBC的外接球的体积为A. 　B.　　 Ｃ.　 　　D.答案:A．提示:补成长方体得解．例3:把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离.分析:核心在于能根据规定构造出相应的几何体，由于四个球半径相等,故四个球一定构成正四周体的四个顶点且正四周体的棱长为两球半径之和2．解:四球心构成棱长为2的正四周体的四个顶点，则正四周体的高.而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径１，且三个球心到桌面的距离都为１,故第四个球的最高点与桌面的距离为. 例4..已知一种三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形,则该三棱锥的外接球体积为 　 　．答案:.谋求球心是核心，模仿圆心拟定的方式,来拟定球心——先拟定底面的圆心（球的小圆圆心）,球心必然在过且垂直于平面ABC的垂线上,如图,,圆的半径可以通过正弦定理得到=2，于是球半径为.故球体积为． 　 　 　 　 　 高考题演习１.一种四周体各棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为（ 　） A．3π      B．4π         　C.    　 　D 6π2．正六棱柱ABＣDＥF﹣A1Ｂ１Ｃ1D1E1F1的侧面是正方形,若底面的边长为a，则该正六棱柱的外接球的表面积是( 　　)A. ４πa2        B． 5πa２        C.8πａ２       　D.10πa２3.长方体三条棱长分别是AＡ′=１,AB=2，AD=４,则从A点出发,沿长方体的表面到C′的最短矩离是( 　)A.5     　　   B. 7              C.              D． ４.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一种球面上，则该球的体积为(  　）                                        5.如图，在等腰梯形ABCD中,AB=2DＣ=2,∠DAＢ=６0°,E为ＡＢ的中点，将△ADE与△BEC分别沿ＥD、EＣ向上折起,使Ａ、B重叠于点P,则Ｐ﹣DＣＥ三棱锥的外接球的体积为( 　)Ａ．　 　 B.　　 C. 　 　 D．　6.已知矩形ＡBCＤ的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=６，BC=2，则棱锥O﹣ABＣD的体积为         ．7.一种正方体的顶点都在一种球面上,已知这个球的表面积为３π,则正方体的棱长   　．8.一种正方体的全面积为ａ2,它的顶点全都在一种球面上，则这个球的表面积为       ９.长方体的一种顶点上的三条棱长分别是3，４，5,且它的8个顶点都在同一种球面上，则这个球的表面积是         .1０．如图，有一种水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高８ｃm，将一种球放在容器口，再向容器内注水，当球面正好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为            　． 　 　 　　 　　 　 答案:1.解答: 由于正四周体扩展为正方体,两者有相似的外接球,因此正方体的棱长为:1，因此正方体的对角线的长度就是外接球的直径，因此球的半径为：．因此球的表面积为:4πＲ2==3π．２.解答： 正六棱柱ＡBCDEF﹣A1B１C1D1Ｅ1F1的侧面是正方形,若底面的边长为a，底面对角线的长度为：2ａ;因此该正六棱柱的外接球的半径为:=．因此该正六棱柱的外接球的表面积是：4πr2=＝５πａ2.3．解答:从A点出发,沿长方体的表面到C′有3条不同的途径，分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是 ，,5，比较三条途径的长度,得到最短的距离是５4. D5. 解:易证所得三棱锥为正四周体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为6.解答： 矩形的对角线的长为：，因此球心到矩形的距离为:=2，因此棱锥O﹣ABCD的体积为：=８．故答案为：87.解答:  ∵球的表面积为3π,∴球的半径为∵正方体的顶点都在一种球面上，∴正方体的对角线为球的直径设正方体的棱长为a，则 ∴a=18.解答:  设球的半径为Ｒ,则正方体的对角线长为２R，[来源:学+科+网]依题意知 Ｒ2=a2，即R２=a２，∴Ｓ球=４πR2=4π•a2=．故答案为:．９.解答：　长方体的一种顶点上的三条棱长分别是3,4，5，且它的8个顶点都在同一种球面上，因此长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为：,因此球的半径为:;则这个球的表面积是:=５０π．１0.解答：根据几何意义得出：边长为８的正方形,球的截面圆为正方形的内切圆,∴圆的半径为:４,∵球面正好接触水面时测得水深为6cｍ，∴d=8﹣6=2,∴球的半径为:R=,R=５∴球的体积为　π×（5)3=πcm３故答案为．。