数列解答题的解法.ppt

数列解答题的解法数列解答题的解法              数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位，近几年更是有所加强. 数列解答题大多以数列、数学归纳法内容为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中档难度. 试题特点试题特点数列解答题的解法数列解答题的解法试题特点试题特点        1.考查数列、等差数列、等比数列、以及数学归纳法等基本知识、基本技能.        2.常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养.        3.常以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间.数列解答题的解法数列解答题的解法 1.熟练掌握并灵活运用数列的基本知识是解决数列问题的基础.              (1)等差、等比数列的判定：①利用定义判定；②an＋an＋2=2an＋1                     {an}是等差数列，anan＋2=a2n＋1(an≠0)       {an}是等比数列；      ③an=an＋b(a,b为常数)       {an}是等差数列；④Sn=an2＋bn(a,b为常      数，Sn是数列{an}的前n项和)       {an}是等差数列.              (2)等差、等比数列的性质的应用：注意下标、奇、偶项的特点等.              应试策略应试策略数列解答题的解法数列解答题的解法-5-2.求通项公式的常见类型(1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.(3)由递推关系式求数列的通项公式.①形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.②形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.-6-3.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列{an·bn}的前n项和Sn,其中{an},{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.-7-4.数列单调性的常见题型及方法(1)求最大(小)项时,可利用:①数列的单调性;②函数的单调性;③导数.(2)求参数范围时,可利用:①作差法;②同号递推法;③先猜后证法. 4.数列不等式问题的解决方法(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法:①先求和后放缩;②先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.等差、等比数列的等差、等比数列的问题例1已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.解￿(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得a1=2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.-9-解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.-10-例2已知数列{an}满足an+1=2an+n-1,且a1=1.(1)求证:数列{an+n}为等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.所以数列{an+n}是首项为2,公比为2的等比数列.(2)解￿由(1)得,an+n=2×2n-1=2n,所以an=2n-n.-11-解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法.(1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an 为同一常数.(2)通项公式法:若an=kn+b(n∈N*),则{an}为等差数列;若an=pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列.(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列;若     =an-1·an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等比数列.2.对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.-12-对点训练对点训练1(2017全国Ⅰ,文17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列. -13-求数列的通求数列的通项及及错位相减求和位相减求和例2(2017天津,文18)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).解￿(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n.-14-(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,上述两式相减,得-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.-15-解题心得求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列{an}与数列{bn}分别是等差数列和等比数列,那么数列{an·bn}的前n项和采用错位相减法来求.-16-对点训练对点训练3(2017山西太原二模,文17)已知数列{an}的前n项和Sn= ,数列{bn}满足bn=an+an+1(n∈N*).(1)求数列{bn}的通项公式;∵当n=1时也成立,∴an=n.∴bn=an+an+1=n+n+1=2n+1.-17-∴数列{cn}的前n项和Tn=22+2×23+3×24+…+n·2n+1.2Tn=23+2×24+…+(n-1)·2n+1+n·2n+2,∴Tn=(n-1)·2n+2+4. -18-求数列的通求数列的通项及裂及裂项求和求和例3(2017全国Ⅲ,文17)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求{an}的通项公式;解￿(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.-19-解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.-20-对点训练对点训练4(2017陕西渭南二模,文17)已知{an}为公差不为零的等差数列,其中a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12.(1)求数列{an}的通项公式;解￿(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12,∴an=2n-1,n∈N*. -21-故所求的n=1 009. -22-涉及奇偶数涉及奇偶数讨论的数列求和的数列求和例4已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=2n-1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列{cn}的前n项和.∴d=2,∴an=2n.对数列{bn}:当n=1时,b1=T1=21-1=1,当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,当n=1时也满足上式.∴bn=2n-1.-23-(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ∴ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n·2n·2n-1=n·(-2)n,设数列{(-1)nanbn}的前n项和为An,数列{(-1)nln Sn}的前n项和为Bn,则An=1×(-2)1+2×(-2)2+3×(-2)3+…+n·(-2)n,①则-2An=1×(-2)2+2×(-2)3+3×(-2)4+…+n·(-2)n+1,②①-②得3An=1×(-2)1+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n·(-2)n+1-24-当n为偶数时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+…+[ln n+ln(n+1)]=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);当n为奇数时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+…-[ln n+ln(n+1)]=-ln(n+1)-ln 1=-ln(n+1).由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1).-25-对点训练对点训练5已知函数f(x)=4x,4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3(n∈N*)成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;解￿(1)∵4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3成等比数列,其公比设为q,∴2n+3=4×qn+2-1,解得q=2.-26-当n为偶数时,Sn=(c1+c3+c5+…+cn-1)+(c2+c4+…+cn) •数列求和的常见类型及方法•(1)通项公式形如an＝kn＋b或an＝p·qkn＋b(其中k，b，p，q为常数)，用公式法求和．•(2)通项公式形如an＝(k1n＋b1)qk2n＋b2(其中k1，b1，k2，b2，q为常数)，用错位相减法．zz数列与不等式、函数问题：数列与不等式、函数问题：z考题剖析考题剖析例例2.（2007·莆田四中）已知α为锐角，且tanα=      －1，函数 f(x)=x2tan2α＋x·sin(2α＋     )，数列{an}的首项a1=     ,an＋1=f(an).     （1）求函数f(x)的表达式；     （2）求证：an＋1>an；     （3）求证：      ［解析］（1）tan2α=                                          =1 又∵α为锐角 ∴sin(2α＋       )=1        f(x)=x2＋x数列解答题的解法数列解答题的解法       （2）∵a1=      ∴a2,a3,…an都大于0    ∴ >0  ∴an＋1>an考题剖析考题剖析（3）由（2）知数列解答题的解法数列解答题的解法∵又∵n≥2时,an＋1>an ∴an＋1≥a3>1     ∴1<2－            <2∴1<                                             <2考题剖析考题剖析 ［点评］ 在高考题中，数列一般与函数、不等式、三角综合，本题中，表面上有三角函数，但可以通过对三角函数求值，将三角函数去掉.从而转化为一个递推数列的问题.数列解答题的解法数列解答题的解法     1.(2007·东北四市长春、哈尔滨、沈阳、大连) 数列{an}的首项     a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=              (n≥2).            （1）求证：数列{      }的通项公式；            （2）设存在正数k，使(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k     对一切n∈N*都成立，求k的最大值.课堂练习课堂练习 ［解析］（1）证明：∵n≥2，an=Sn－Sn－1∴Sn－Sn－1=              ，∴(Sn－Sn－1)(2Sn－1)=2S ，∴Sn－1－Sn=2SnSn－1∴                  =2(n≥2)，  数列                           为首项，以2为公差的等差数列.考题剖析考题剖析数列解答题的解法数列解答题的解法 （2）由（1）知      =1＋(n－1)×2=2n－1∴F(n)在n∈N*上递增，要使F(n)≥k恒成立，只需［F(n)］min≥k∵［F(n)］min=F(1)= 考题剖析考题剖析 ［点评］本小题考查等差数列通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题.数列解答题的解法数列解答题的解法2 2.（2007·浙江省五校模拟题） 已知函数f(x)=x－ln(1＋x),数列{an}满足0an·n!.考题剖析考题剖析数列解答题的解法数列解答题的解法     （2）假设当n=k时,结论成立,即00,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在［0,1］上连续,所以f(0)0,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在［0,1］上连续,所以g(x)>g(0)=0.因为00,即 .数列解答题的解法数列解答题的解法       (Ⅲ) 因为 b1=                                 所以bn>0,                      ,所以由(Ⅱ)                                           所以因为a1=       , n≥2, 0an·n!.考题剖析考题剖析 ［点评］本题考查函数、数列、不等式、数学归纳法、导数等知识，考查综合运用知识、综合解题能力，是一道较难题.数列解答题的解法数列解答题的解法-41-数列中的存在性数列中的存在性问题例1已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.(1)证明￿由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.因为an+1≠0,所以an+2-an=λ.-42-(2)解￿由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4.由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.解题心得假设推理法:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.-43-对点训练对点训练3(2017云南昆明一中仿真,文17)已知数列{an}和{bn},a1a2a3…an= (n∈N*),且a1=2,b3-b2=3,数列{an}为等比数列,公比为q.(1)求a3及数列{bn}的通项公式;(2)令cn= ,是否存在正整数m,n(m≠n),使c2,cm,cn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.-44-所以存在正整数m=3,n=6,使c2,cm,cn成等差数列. 。