债券定价原理教学课件PPT.ppt

第十五讲 债券定价原理 一、债券定价原理• 1962年，麦尔奇(Malkiel)最早提出 • 定理1 债券的价格与债券的收益率成反 比例关系换句话说，当债券价格 上升时，债券的收益率下降；反之 ，当债券价格下降时，债券的收益 率上升 • 例：某5年期的债券A，面值为1000美元 ，每年支付利息89美元，即息票率为8％ • A.如果现在的市场价格等于面值，意味 着它的收益率等于息票率，8％ • B.如果市场价格上升到1100美元，它的 收益率下降为5.76％，低于息票率8％ • C.如果市场价格下降到900美元，它的收 益率上升到10.98％，高于息票率8％ 定理2• 当债券的收益率不变，即债券的息票率 与收益率之间的差额固定不变时，债券 的到期时间与债券价格波动幅度之间成 正比关系换言之，到期时间越长，价 格波动幅度越大；反之，到期时间越短 ，价格波动幅度越小或债券价格的折 扣或升水随着到期日的临近而减少，债 券的价格日益接近面值 • 例：某5年期的债券B，面值为1000美元， 每年支付利息60美元，即息票率为6％ • 如果它的发行价格低于面值，为883.31美元 ，意味着收益率为9％，高于息票率； • 如果一年后，该债券的收益率仍维持在9％ 不变，他的价格为902.81美元。

• 883.31＝ 60/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)5+1000/(1+0.09 )5 • 902.81＝ 60/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)4+1000/(1+0.09 )4• 说明在维持收益率不变的条件下， 随着债券到期时间的临近，债券价 格的波动幅度从116.69美元（1000 －883.31）减小到97.119（1000－ 902.81）美元，两者的差额为19.5 美元，占面值的1.95％定理3• 随着债券到期时间的临近，债券价 格的波动幅度见效，并且是以递增 的速度减小；反之，到期时间长， 债券价格波动幅度增大，并且是以 递增的速度增大 • 例：某5年期的债券B，面值为1000美元，每 年支付利息60美元，即息票率为6％ • 如果它的发行价格低于面值，为883.31美元 ，意味着收益率为9％，高于息票率； • 如果一年后，该债券的收益率仍维持在9％不 变，他的价格为902.81美元， • 如果两年后，该债券的收益率仍维持在9％不 变，他的价格为924.06美元 • 883.31＝ 60/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)5+1000/(1+0.09)5 • 902.81＝ 60/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)4+1000/(1+0.09)4 • 924.06＝ 60/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)3+1000/(1+0.09)3• 债券价格的波动幅度由116.69美元 减小到97.119美元，又减小到75.94 美元，第二年与第三年的差额为 21.25美元，占面值的比率为2.125 ％。

所以，第一年与第二年的市场 价格的波动幅度小于第二年与第三 年的市场价格波动幅度 定理4• 对于期限既定的债券，由收益率下 降导致的债券价格上升的幅度大于 同等幅度的收益率上升导致的债券 价格下降的幅度换言之，对于同 等幅度的收益率变动，收益率下降 给投资者带来的利润大于收益率上 升给投资者带来的损失 • 例：某5年期的债券C，面值为1000 美元，息票率为7％假定发行价格 等于面值，那么，它的收益率为7％ 当收益率变动一个百分点，收益 将如何变动？ • （1）当收益率上升一个百分点，变为8％债券的价格：960.07＝ 70/(1+0.08)++70/(1+0.08)5+1000/(1+0.08)5价格波动幅度：1000－960.07＝39.93美元 • （2）当收益率下降一个百分点，变为6％债券的价格：1042.12＝ 70/(1+0.06)++70/(1+0.06)5+1000/(1+0.06)5价格的波动幅度：1042.12－1000＝42.12美元42.12美元>39.93美元 • 所以，收益率下降导致的债券价格上升幅度大 于收益率上升导致的债券价格下降幅度 定理5• 对于给定的收益率变动幅度，债券 的息票率与债券价格的波动幅度之 间成反比关系。

换言之，息票率越 高，债券价格的波动幅度越小 • 例：某5年期的债券C，面值为1000美元， 息票率为7％另一5年期的债券D，面值为 1000美元，息票率为9％ • （1）如果债券C与债券D 的收益率都是7％债券C的市场价格：1000美元1000＝ 70/(1+0.07)+.+70/(1+0.07)5+1000/(1+0.0 7)5债券D的市场价格：1082美元1082＝ 90/(1+0.07)+.+90/(1+0.07)5+1000/(1+0.0 7)5 • （2）如果两种债券的收益率都上升到8％债券C的市场价格：960.07美元960.07＝ 70/(1+0.08)+.+70/(1+0.08)5+1000/(1+0.0 8)5债券D的市场价格：1039.93美元1039.93＝ 90/(1+0.08)+.+90/(1+0.08)5+1000/(1+0.0 8)5 • （3）两种债券价格的下降幅度债券C的下降幅度：（1000－ 960.07）/1000=3.993%债券D的下降幅度：（1082－ 1039.93）/1082=3.889% • 债券D的价格波动幅度小于债券C的 价格波动幅度 二、久期duration • （一）久期的定义和计算 • 1.久期的定义一个债券的价格取决于现金流和当前的利 率。

由于债券的现金流是事先决定的，利率 的波动是债券价格变化的主要风险来源利 率的变化导致人们对要求的收益率的变化， 也导致债券价格的变化如果以P表示债券 的价格，y表示债券的收益率，债券价格的利 率风险可以简单地表示为－∂P/∂y，它表示收 益率的单位变化导致价格变化的数量负号 表示普通债券的收益率变化与价格变化方向 相反 • 普通债券的收益率变化与价格变化 方向相反 • 例：假定一个10年期的债券，面值为100 ，息票率为8％，在不同的收益率下，债 券的价格如下：• 债券价格的变化和收益率的变 化近似有： • 其中，ΔP表示债券价格的变化 ，Δy表示收益率的变化等式 两边除以价格P，则得到债券 的价格变化率： • 若以D表示久期，则久期定义 为： • 反映了收益率的单位变化导致 价格的变化率 • 则 ΔP/P＝DΔy，债券价格变 化的百分比＝－久期×收益率 的变化 • 或者ΔP＝PDΔy ，债券价格的 变化＝－久期×价格×收益率的 变化 2．久期的计算 • 假定一个债券的面值为1，年息票率是c，到期 日前还有N次利息支付，利息半年支付一次， 收益率为y（半年计算一次时的年收益率）现 在离下一次支付还有6个月，久期的计算公司推 导如下： • 债券的价格为： • 求价格对收益率的导数：• 其中tk＝k/2,它是现在离第k个付息日的时间长 度 • 久期为：D＝－dP/dy/P • 在不考虑1/(1+y/2)的条件下，久期可以这样来 理解：久期是现金流到达时间tk的加权平均， 权数是单位现金流的现值。

• 例：一个10年期，面值为100，息票率为6％ 的债券，每年付息一次，投资者要求的收益率 也是6％，即它是一个平价债券，计算它的久 期 • D= 7.44 • 如果利率发生变化，投资者对这个 债券的收益率增加0.5％，即Δy＝ 0.005 • 则ΔP=－7.44×100×0.005＝－3.72 • 价格下降到P+ΔP=100－3.72＝ 96.28 • 利用久期计算的价格变化相当于泰 勒展开式的一阶近似，所以96.28 只是一个近似值收益率变化越小 ，近似效果越好，反之，效果越差 3.麦考利久期 • （1）定义 • 相对于麦考利久期，前面定义的久期为调整 的久期（modified duration） • 当采用的收益率为半年复利一次的名义年收 益率， • 麦考利久期＝（1＋y/2）×调整的久期； • 当采用的是一年复利一次的名义年收益率， • 麦考利久期＝（1＋y）×调整的久期 （2）麦考利久期的直观解释• A.一个证券的麦考利久期是其现金流的 平均到达时间 • 对于一个付息债券，半年期息票率为6％ ，半年付息一次，面值是100，10年后到 底，现价是100，它的现金流的平均到达 时间7.66年 • B.麦考利久期是债券价格关于其收益 率的弹性。

• 如果采用的收益率是一年复利一次的 年收益率，麦考利久期的计算公式为 ： • MD=－(dP/dy)×[(1+y)/p]=－(dP/P)/[dy/(1+y)] =－(dP/P)/[d(1+y)/(1+y)] （二）久期与风险管理• 资产免疫管理是指通过适当的方式， 来避免利率的非预期波动对资产价值 的影响 • 根据久期的定义 dP/P=－Ddy则， Var(dP/P)=Var(－ Ddy)=D2Var(dy)波动率即标准差为 Vol(dP/P)=DVol(dy) • 即在收益率的微小变动下，债券价格 变化率的标准差是收益率标准差的D倍 1．资产组合的久期• （1）定义 • 对于单个资产，久期这个概念并不是很重要， 因为他的现金流比较清晰但作为价格风险的 度量对于一个资产组合来说，其优越性就显现 出来了 • 一个资产组合的久期的标准定义为：资产组合 的久期等于组成资产组合的各个资产的久期的 加权平均 • 与资产组合的久期的定义相对应的是资产组合 的收益率资产组合的收益率定义为：资产组 合的收益率是资产组合的现金流的到期收益率 （2）推导• 以两个资产的资产组合为例，资产 组合P由N1份债券B1，N2份债券B2 组成，债券组合、债券的现价仍分 别记为P，B1，B2，则资产组合的 价格为 • P＝N1B1＋N2B2 （3）实例分析 • 一个资产组合由B1和B2组成，它们所占的份 额均为0.5，它的价格，收益率，久期分别是 B1=100，y1=7%，D1=0.483092，B2=100, y2=8.8%,D2=1.797968 • 则资产组合的价格：0.5×100＋0.5×100＝100 • 资产组合的久期：(0.5×100)/100×0.483092＋ (0.5×100)/100×1.797968＝1.14053 • 也可以讲资产组合看成一个证券，通过久期的 定义计算出资产组合的久期。

2．久期的匹配 • 我们在进行风险管理时，有时需要构造 一个资产组合，其价值与某个债券或者 债券组合相同，并且在利率发生波动的 情况下，两者的价值变动也相同如果 一个是多头，一个是空头，两者的风险 就可以对冲久期可以帮助构造这样一 个资产组合，只要求两者的现价相同， 两者的久期也相同就可以近似地做到这 一点 • 例：假定持有一个债券，10年后到期， 息票率是6％，投资者要求的收益率也是 6％，它是一个平价债券该债券的久期 为7.4378如果市场利率上升，债券价 格有下降的风险投资者可以采取持有 其他债券的空头来对冲他的利率风险， 假定可供选择的债券有两个，其价格和 久期为： • 确定持有的x和y的数量，使构造的资产 组合能够对冲10年期债券的利率风险 • 这个资产组合应该满足两个条件：现价 应该等于10年期平价债券的现价，久期 应该等于该债券的久期，即94.2596x＋100y=100 0.9709×94.2596x+13.8378×100y=7.43 78×100• 则x=0.5276 y=0.5027 。