2004年考研数学（一）真题及答案解析.pdf

2004 年全国硕士研究生入学统一考试2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1)曲线上与直线垂直的切线方程为_ .(1)曲线上与直线垂直的切线方程为_ . (2)已知,且,则=_ .(2)已知,且,则=_ . (3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为_.(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为_. (4)欧拉方程的通解为_ .(4)欧拉方程的通解为_ . (5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=_ .(5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=_ . (6)设随机变量服从参数为 的指数分布,则= _ .(6)设随机变量服从参数为 的指数分布,则= _ . 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A) (A) (B)(B) (C) (C) (D)(D) (8)设函数连续,且则存在,使得(8)设函数连续,且则存在,使得 (A)在(0,内单调增加 (A)在(0,内单调增加 (B)在内单调减少(B)在内单调减少 (C)对任意的有 (C)对任意的有 (D)对任意的有 (D)对任意的有 lnyx1 yx(e )exxfx(1)0f( )f xL222 yxLydxxdy2)0(024222xydxdyxdxydx210120001AB*2ABABAE*AAEBXDXXP 0 xdttdttdttxxx03002sin,tan,cos2,( )f x, 0)0( f0( )f x)( )f x)0 ,(), 0(x( )(0)f xf)0 ,(x( )(0)f xf全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 1 页，共 27 页(9)设为正项级数,下列结论中正确的是(9)设为正项级数,下列结论中正确的是 (A)若=0,则级数收敛(A)若=0,则级数收敛 (B)若存在非零常数 ,使得,则级数发散(B)若存在非零常数 ,使得,则级数发散 (C)若级数收敛,则 (C)若级数收敛,则 (D)若级数发散, 则存在非零常数 ,使得(D)若级数发散, 则存在非零常数 ,使得 (10)设为连续函数,则等于(10)设为连续函数,则等于 (A)(A) (B)(B) (C) (C) (D) 0(D) 0 (11)设是 3 阶方阵,将的第 1 列与第 2 列交换得,再把的第 2 列加到第3 列得,则满足的可逆矩阵为(11)设是 3 阶方阵,将的第 1 列与第 2 列交换得,再把的第 2 列加到第3 列得,则满足的可逆矩阵为 (A) (A) (B) (B) (C) (C) (D)(D) (12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有 (A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关(C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关 (D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关 (13) 设 随 机 变 量服 从 正 态 分 布对 给 定 的, 数满 足,若,则 等于(13) 设 随 机 变 量服 从 正 态 分 布对 给 定 的, 数满 足,若,则 等于 1nnannnalim1nnannnalim1nna1nna0lim2nnan1nnannnalim( )f xttydxxfdytF1)()()2(F2 (2)f(2)f(2)fAABBCAQCQ101001010100101010110001010100001110,A BABOA,BA,BA,BA,BX(0,1),N) 10(uuXP xXPx全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 2 页，共 27 页(A) (A) (B)(B) (C) (C) (D) (D) (14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则(14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则 (A) (A) (B) (B) (C) (C) (D)(D) 三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 12 分)(15)(本题满分 12 分) 设,证明.设,证明. 2u21u21u1u) 1(,21nXXXn. 02niiXnY1121Cov(, )X Yn21Cov(, )X Y212)(nnYXD211)(nnYXD2eeab2224lnln()ebaba全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 27 页 (16)(本题满分 11 分)(16)(本题满分 11 分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) ).100 . 66k全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 27 页 (17)(本题满分 12 分)(17)(本题满分 12 分) 计算曲面积分其中是曲面的上侧.计算曲面积分其中是曲面的上侧. ,) 1( 322233dxdyzdzdxydydzxI)0(122zyxz全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 27 页 (18)(本题满分 11 分)(18)(本题满分 11 分) 设有方程,其中 为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.设有方程,其中 为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛. 10nxnx nnx11nnx全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 6 页，共 27 页 (19)(本题满分 12 分)(19)(本题满分 12 分) 设是由确定的函数,求的极值点和极值.设是由确定的函数,求的极值点和极值. ( , )zz x y2226102180 xxyyyzz( , )zz x y全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 7 页，共 27 页 (20)(本题满分 9 分)(20)(本题满分 9 分) 设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 试问 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.试问 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna xxxxa xxnnxnxna xa全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 8 页，共 27 页 (21)(本题满分 9 分)(21)(本题满分 9 分) 设矩阵的特征方程有一个二重根,求 的值,并讨论是否可相似对角化.设矩阵的特征方程有一个二重根,求 的值,并讨论是否可相似对角化. 12314315a AaA全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 9 页，共 27 页 (22)(本题满分 9 分)(22)(本题满分 9 分) 设为随机事件,且,令设为随机事件,且,令 求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和 的相关系数求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和 的相关系数 ,A B111( ), (|), (|)432P AP B AP A B;, 0, 1不发生发生AAX., 0, 1不发生发生BBY(, )X YXY.XY全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 10 页，共 27 页 (23)(本题满分 9 分)(23)(本题满分 9 分) 设总体的分布函数为设总体的分布函数为 其中未知参数为来自总体的简单随机样本,其中未知参数为来自总体的简单随机样本, 求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量 2004 年数学一试题分析、详解和评注年数学一试题分析、详解和评注 一、 填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 y=lnx 上与直线垂直的切线方程为 . 【分析分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。

【详解详解】 由，得 x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为 ， 即 . 【评注评注】 本题也可先设切点为，曲线 y=lnx 过此切点的导数为，得，X, 1, 1, 0,11),(xxxxFnXXX, 121X1 yx1 xy11)(lnxxy)0 , 1 () 1(10 xy1 xy)ln,(00 xx1100 xyxx10 x全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 11 页，共 27 页由此可知所求切线方程为， 即 . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知，且 f(1)=0, 则 f(x)= . 【分析分析】 先求出的表达式，再积分即可 【详解详解】 令，则，于是有 ， 即 积分得 . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 f(x)= . 【评注评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分 完全类似的例题见数学复习指南完全类似的例题见数学复习指南P89 第第 8 题题, P90 第第 11 题题. （3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 . 【分析分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为 于是 = 【评注评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可. 完全类似例题见数学题型集粹与练习题集完全类似例题见数学题型集粹与练习题集P143 例例 10.11， 考研数学大串讲， 考研数学大串讲P122 例例 5、例、例 7 . （4）欧拉方程的通解为 . 【分析分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可 【详解详解】 令，则 ， ， 代入原方程，整理得 ， ) 1(10 xy1 xyxxxeef)(2)(ln21x)(xf textxlntttfln)(.ln)(xxxfCxdxxxxf2)(ln21ln)(2)(ln21xL222 yxLydxxdy223222 yx.20:,sin2,cos2yxdydxxdyLsin2sin22cos2cos2220.23sin2202d)0(024222xydxdyxdxydx221xcxcytex tex dtdyxdtdyedxdtdtdydxdyt111122222222dtdydtydxdxdtdtydxdtdyxdxyd02322ydtd。