[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟29.docx

[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟29解答题问题:1. 设u=xyz，求du．答案:[解] 问题:2. 设z=yf(x2-y2)，其中f可导，证明： 答案:[证明] 问题:3. 设其中f，g二阶可导，证明：答案:[解] 问题:4. 设u=f(x+y，x2+y2)，其中f二阶连续可偏导，求 答案:[解] 问题:5. 设z=f[xg(y)，x-y]，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求 答案:[解] 问题:6. 设z=z(x，y)由xyz=x+y+z确定，求 答案:[解] 方法一 令F=xyz-x-y-z， 方法二 xyz=x+y+z两边对x求偏导得解得故 问题:7. 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．答案:[解] 设显然f(x，y)在点(0，0)处连续，但不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处对x不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对y也不可偏导． 所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且f'x(0，0)=f'y(0，0)=0． 因为所以不存在，而f(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处不连续．问题:8. 设讨论函数f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．答案:[解] 因为所以不存在，故函数f(x，y)在点(0，0)处不连续． 因为所以函数f(x，y)在点(0，0)处对x，y都可偏导．问题:9. 讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．答案:[解] 因为且所以即函数f(x，y)在点(0，0)处连续． 因为所以f'x(0，0)=0，根据对称性得f'y(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导． 因为不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微．问题:10. 讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．答案:[解] 因为所以f(x，y)在点(0，0)处连续． 因为所以f'x(0，0)=0，由对称性得f'y(0，0)=0，即函数f(x，y)在点(0，0)处可偏导． 因为且 所以函数f(x，y)在点(0，0)处可微． 问题:11. 设z=f(etsint，tant)，求 答案:[解] 问题:12. 设z=ex2+y2sinxy，求 答案:[解] 问题:13. 设f有一阶连续的偏导数，求答案:[解] 问题:14. 设u=xyz，求du．答案:[解] u=xyz=eyzlnx， 问题:15. 设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．答案:[解] x2+y2+z2=xyf(z2)两边对x求偏导得解得 x2+y2+z2=xyf(z2)两边对y求偏导得解得故 问题:16. 设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z=f(2x-y)+g(x，xy)，求 答案:[解] 问题:17. 设z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求 答案:[解] 问题:18. 设z=f(x2+y2，xy，x)，其中f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 答案:[解] 问题:19. 设z=z(x，y)由x-yz+yez-x-y=0确定，求及dz．答案:[解] 方程x-yz+yez-x-y=0两边对x求偏导得 方程x-yz+yez-x-y=0两边对y求偏导得 问题:20. 设z=f(x-y+g(x-y-z))，其中f，g可微，求 答案:[解] 等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对x求偏导得 等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对y求偏导得 问题:21. 设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明： 答案:[证明] 问题:22. 设xy=xf(z)+yg(z)，且xf'(z)+yg'(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明： 答案:[证明] xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得 问题:23. 设z=f(x，y)由方程z-y-x+xez-y-x=0确定，求dz．答案:[解] 对z-y-x+xez-y-x=0两边求微分，得 dz-dy-dx+ez-y-xdx+xez-y-x(dz-dy-dx)=0， 解得。