分数的本质分数概念.doc

数学与认知结构分数真分数假分数带分数分数数词的多重意义分数的教学策略分数问题范围的分类教学应注意事项具体物的使用最简分数国小学童学习分数概念时常见的迷思概念补充说明运思方式的发展测量运思对分数问题的影响等价分量学生的先备知识l 何谓分数分数概念起源于“分”，是用来解决『不满一个单位量的量』的数值的问题透过将原单位量（例如：一个圆）加以等分割（例如：分成五等份），得到单位分量(五分之一)，再重复数个单位分量（例如：两个五分之一）加以合成，而得到被测量的量为五分之二公尺的圆例如：１／５　　　 １是“分得的量”　　　　 ５是“总单位量” 同样地，分数的原始意义『等分割及再合成其数份的活动』是分数概念发展的基石对于所有分数问题，学童唯有能实际操作或在心理操作等分割及再合成其数份的活动，才能理解如何解决这些问题简单的说：分数就是『分开』的意思用来描写一个『被分开的全体之各部份』也可用来表示将对象『等分成若干份』后，『取其几份』的结果可归纳其原始意义为：『把一个或多个基准单位量，透过实作或心理的等分割活动成为N等份，再合成其M份，命名为N分之M，记为M/N。

』 分数是透过等分割活动及合成活动的实施，来确定一个量（例如：4个糖果）与一个单位量（例如：12个糖果装一包）的数值关系的指标由于确定同一个量与其单位量间的数值关系的等分割活动与合成活动并非唯一，以上述数据为例，12个糖果中的4个，可以透过将12个糖果等分割成12份，再合成其中的4份而获得，也可以透过将12个糖果等分割成6份，再合成其中的2份而获得因此，在单位量确定的情况下，把测量同一量的不同数值指标（如上例的4/12与2/6）视为相等，忽略不同数值指标的等分割份数与合成份数，而注重等分割份数与合成份数间的比值关系，并把比值当作数值指标的数，称之为有理数学童的认知需达到测量运思，才能讨论不同的等分割与合成活动结果的等价关系，作为发展有理数概念的基础并以之作为发展 分数的初步概念是包涵单位分量､真分数、假分数与带分数教学的过程中是，由单位分量ð真分数概念ð带入假分数及带分数l 何谓真分数将『壹』单位（例如一条绳子，或一块蛋糕）等分成数份（例如8份），来讨论单位分数的意义（例如「1」单位8等分后，一份为1/8）；在逐次累加一个单位分量的情境中，建立同分母分数数词序列，讨论真分数数词的意义，进而能掌握用分数数词沟通分量的获得过程，例如『八分之三』个圆，是表示将一个圆等分成8份，形成『八分之一』个圆的单位分量，再将3个『八分之一』个圆合起来的结果。

分子异于1，且其总量不超过『1个』的分量，我们称之真分量真分量是由『1个』子分割成数分，但与单位分量不同，是取出其中数分合成的量，单位分量是祇取出其中的1分因此，在真分量命名时，仍宜强调名字中应表现出（1）等分的活动；（2）分成几分；（3）取出几分合起来等要素l 真分数的教学策略真分量的命名活动在进行真分量的命名时，我们仍先使用绳子的长度性质，进行五或七等分的活动使用五等分做为开始，五等分后，可以同时讨论数个真分量的命名（例如五分之二、五分之三、或五分之四）我们刻意地避开四等分和六等分，原因是避免「二分之一」与「四分之二」的混淆在命名的初期，我们希望建立命名活动的系统化，对于『二分之一』与『四分之二』为等价分量，可以有两个名字的问题，留待第六册，学童对分数数词有较多的认识后，再进一步地做讨论依照活动重点，教师宜准备已等分好的材料，在等分处做上记号，以方便在视觉上同时掌握整体与部分在要求命名时，宜用手势来指明要命名的部分在命名过程中，宜先复习单位分量的命名，协助学童可以仿照单位分量的命名方式来对真分量命名但教师宜注意，此时尚不宜用单位分量的合成来讨论真分量的命名，换言之，真分量的命名，注重其获得的方式，以五分之二为例，五分之二是将一个东西分成五分，取出来二分合起来的量，而并非两个五分之一的量合起来的量。

学童此时可能尚不能将五分之一视为可被计数的单位，有关合成问题，留待三年级下学期再讨论在命名活动中，我们先要求系统化，而在系统化中，可以先接受非格式化的名字，但要求此名字已能较清楚地表达（1）等分活动；（2）分成数分；（3）取出其中的几分合起来在活动示例中，我们使用『●５●２●』的符号来表示符合上述要求而非格式化的名字，因为学童是用口语来叙述名字，教师亦可用注音的方式，记录在黑板，以供讨论与选择如果学童中有人自发地提出五分之二条绳子的命名，教师宜先诉诸社会上的沟通的共识，讨论五分之二的名字是否已清楚地表达此分量形成的过程在形成共识后，要求仿照同样的方式来进行五分之三、五分之四的命名如果全班学童都无五分之二的命名，亦可先选出最符合表达要求的名字，例如『●５●２●』，要求先仿照此种命名方式，对于五分之三及五分之四的分量进行命名，而产生『●５●３●』及『●５●４●』的名字在此阶段，我们先要求学童能注意到各分量获得过程的异同，而系统化的展现在命名过程中，可以在命名活动之后，探讨社会上的沟通共识，讨论五分之二的名字，是否也可表达分量获得的过程，再形成共识，使用此种方式重新赋予约定成俗的命名在此种讨论流程中，我们强调宜先注重活动意义的掌握，在沟通方面，培养学童勇于自行命名的态度，教师亦宜先尊重学童的选择，再以社会的沟通共识做规范，要求使用正式的数学语言。

进行使用离散量来讨论分量的命名在离散量的情境中，我们是以总量为基准单位量，来进行等分割及命名活动，在此类问题中，我们建议先将问题限制在『总量与等分分数相同』的范围内，例如『10个馒头装成 1包，把1包馒头分给10个人，1个人可得多少包﹖』在命名的过程中，许多学童可能会混淆『个』和『包』的两阶单位，教师宜强调题目中的问题，提醒学童现在是问多少包，亦宜随时提醒等分绳子时的命名方式，以协助学童学习正式的名称同样地，在离散量情况下进行真分量的命名时，我们只采用三、五或七等分，以避免命名时的混淆l 何谓假分数单位分量的累积与数词序列，其分数数词所描述的数量，几乎都是不超过『1』单位所描述的数量而在此处，即以分数数词来描述不小于「1」单位的数量例如当5个1/4个圆合起来时，称之『五分之四』个圆；此类分数数词，则通称为假分数即分数数词所描述的数量『大于1单位』所描述的数量，通常分子会大于分母5个1/4的圆ð5/4在合成或分解活动中，建议下列的流程：（1）先澄清单位分数数词的意义；（2）用真分数布合成问题，或用小于2的假分数与真分数布分解问题；（3）学童尝试解题；（4）要求学童以分数算式摘要记录解题活动与结果，而不要求学生记录解题过程。

l 假分数的教学策略假分数的命名活动教师宜注意到，假分数数词是描述不小于『1』单位的数量，故而在量的情境布置时，必须使用多个「1」单位同时将它们做同份数的等分活动，例如，以绿色积木（其长度相当于6个白色积木）为「1」单位，将三条绿色积木同时进行6等分的活动，沟通其等分结果皆为六分之一条绿色积木，如此才能有18个单位分量（六分之一条）来布置命名活动的情境当然，在累加单位分量时，实际上是使用白色积木，教师必须先与学童沟通，在此情境中，白色积木是代表六分之一条绿色积木在假分数命名活动中，教师宜强调如何选择分数数词，使别人一听就知道是几个单位分量的合成结果活动示例建议由真分数数词为起点（例如：『5个六分之一条绿色积木合起来是多少条绿色积木？』）再逐次累加一个单位分量，先确定单位分量的个数（例如：『再一个六分之一条，合起来是几个六分之一条？』」再协商此数量如何命名（例如：『6个六分之一条绿色积木，合起来是多少条绿色积木？』」以真分数数词为起点，可以协助学童使用真分数数词的命名规律，来形成假分数数词l 何谓带分数在强调混用『1』单位与单位分数两种被计数单位的情境下，形成使用带分数数词（字）描述数量的共识。

例如『一又六分之二』条绳子，是描述一条绳子和2个六分之一条绳子的合成结果，记作『1＋2/6』依据课程标准，选择「1＋2/6」做为带分数数字的书写形式，以强调带分数是自然数与真分数合成的结果待学童掌握其合成的意义后，再考虑「1」的省略记法由于在此阶段，多数学童尚无法尚掌握乘除互逆的概念，不能用倍的活动来抵消等分活动，故而延伸活动经验，在量的情境中，继续进行『n/n』与『1』的比较活动例如：『100/100张百格板和1张百格板，谁比谁大？』，希望累积比较经验，进而察觉『n/n』与『1』间的等价关系，可以用一个『n/n』来交换一个『1』以一个『n/n』可以交换一个『1』为基础，教师可以协助学童探讨假分数与带分数间的关系假分数数词的选择，着重于别人一听就知道是几个单位分量的合成结果；相对地，带分数数词的选择，着重于别人一听就知道是几个基准单位量（『1』单位）和几个单位分量的合成结果假分数数词的命名，是以数个单位分量的合成为活动背景；相对地，带分数数词的命名活动，是以数个基准单位量与数个单位分量的合成为活动背景例如活动示例中，确定1/4张色纸的意义后，询问3张色纸和一个1/4张色纸合起来要如何描述，在逐次累加一个1/4张色纸的情况下，询问3张色纸和数个1/4张色纸合起来要如何描述。

l 带分数的教学策略带分数的命名活动学童在进行带分数的做数活动时，可能以口述、画图象或操作具体物等方式来表现其数量如果学生无法完成做数活动，教师宜询问带分数数词（字）的意义，来协助学生解题例如：提示学童 "四又十分之六条橘色积木是告诉我们几条橘色积木和几个十分之一条橘色积木合起来？”在此阶段，教师在黑板上记录学童的说法时，宜采用文字符号（例如『三又四分之一』），在下个活动中，再讨论带分数数字的写法命名活动可以分为两个阶段进行在第一阶段时，先着重学童的描述（命名）是否已沟通重要的元素：是数个基准单位量和数个单位分量的合成，着重形成命名方式的类型（规律）；在第二阶段再强调社会上约定成俗的说法换言之，在命名活动开始时，班级中若无人提出约定成俗的说法（例如『三又四分之一』）时，教师可以协助选择一种已沟通重要元素的学童自创说法，做为暂时的班级的沟通格式，继续进行命名活动，以强调此时沟通的要素而在下一阶段的命名活动中，再引入约定成俗的数词当然，若学童在第一阶段中，已提出约定成俗的数词时，教师宜透过便于与社会大众沟通为理由，协助学童注意到数词如何沟通重要元素，再协助学童使用此种方式，来描述其它的数量。

由于带分数数词是首次引入，为了将情境单纯化，活动示例中，限制单位分数的内容为单一个物，而且分母不大于十二或等于一百在命名活动中，若学童以等值分数描述数量时，例如用『三又二分之一』来描述3张和2个1/4张的合成结果，教师宜采淡化原则，请学童说明他（她）的观点，在接受此种说法的情况下，要求学童再选择一种方式，让别人一听就知道是描述3张和2个1/4张的合成结果带分数的说、读、听、写、做活动依据课程标准，选择『2＋』的书写形式，来记录『二又三分之一』，以强调带分数是自然数与真分数合成的结果当带分数的写法由2 改为2＋时，教学上应注意：（1）如果学生以传统方法来书写带分数符号，如2，教师宜接受；但是教师的教学都要以2＋的方式来书写；（2）如果学生将带分数的符号，如2＋，读成二加三分之一，教师宜接受；但是教师的读法一定要是二又三分之一3）为了避免造成「和」与「和数」的混用，请教师不要出像"2公尺的绳子和1/3公尺的绳子合起来是多少公尺，写出算式"【2+1/3=2】这一类的问题在带分数的合成、分解活动中，曾引导学。