全等难题——倍长中线法.doc

第二讲全等三角形与中点问题中考规定板块考试规定Ａ级规定B级规定C级规定全等三角形的性质及鉴定会辨认全等三角形掌握全等三角形的概念、鉴定和性质，会用全等三角形的性质和鉴定解决简朴问题会运用全等三角形的性质和鉴定解决有关问题知识点睛三角形中线的定义:三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的有关定理: 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半　等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重叠)三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线鉴定定理：通过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线有关问题(波及中点的问题）见到中线（中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(后来还要学习中线长公式），特别是在波及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常用.重、难点重点：重要掌握中线的解决措施，碰见中线考虑中线倍长法 难点：全等三角形的综合运用 例题精讲版块一　 倍长中线【例1】 （通化市中考题)在△中，，则边上的中线的长的取值范畴是什么?【补充】已知:中,是中线.求证:.【例2】 (巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知:如图，梯形中,，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点．求证：.【例3】 (浙江省初中毕业生学业考试（湖州市)数学试卷)如图,在中,是边的中点,，分别是及其延长线上的点,.求证:.【例4】 如图,中，,是中线.求证:．【例5】 如图，已知在中，是边上的中线,是上一点，延长交于，，求证:．【例6】 如图所示，在和中,、分别是、上的中线，且,,，求证． 　　　 【例7】 如图，在中，交于点，点是中点,交的延长线于点，交于点，若,求证:为的角平分线．【例8】 已知为的中线,,的平分线分别交于、交于．求证：.【例9】 在中，,点为的中点,点、分别为、上的点,且.以线段、、为边能否构成一种三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】 如图所示,在中，是的中点,垂直于，如果,求证． 　 　 　　 　【例10】 （年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在中,是斜边的中点,、分别在边、上，满足.若，，则线段的长度为＿___＿＿＿__.【例11】 如图所示,,是的中点，,,求证. 版块二、中位线的应用【例12】 是的中线，是的中点,的延长线交于．求证：. 　　　 　【例13】 如图所示，在中，,延长到,使,为的中点，连接、，求证．　　　【例14】 已知:ABCＤ是凸四边形，且AC＜BD. Ｅ、F分别是AD、BＣ的中点，EＦ交ＡC于M;ＥF交BD于N,AＣ和BD交于G点． 求证:∠GMＮ>∠GNM．【例15】 在中,,,觉得底作等腰直角,是的中点，求证:且．【例16】 如图,在五边形中,,,为的中点．求证:．【例17】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题,中国国家集训队试题)如图所示，是内的一点,,过作于，于，为的中点,求证. 　　 　【例18】 （全国数学联合竞赛试题）　如图所示,在中,为的中点,分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线,相交于点，设线段、的中点分别为、．求证:（1） ;(2)　．　 　 【例19】 已知,如图四边形中，,、分别是和的中点,、、的延长线分别交于、两点. 求证:. 　 【例20】 （大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知:在中,，动点绕 的顶点逆时针旋转,且,连结.过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、.⑴　如图1，当点旋转到的延长线上时,点正好与点重叠,取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明).⑵ 当点旋转到图2或图3中的位置时,与有何数量关系？请分别写出猜想,并任选一种状况证明.【例21】 如图，AE⊥ＡＢ,BC⊥CＤ，且ＡE＝ＡＢ,BC=ＣD，F为DE的中点,ＦM⊥AＣ．证明:FM＝AC.【例22】 （199１年泉州市初二数学双基赛题）已知:在△ABC中，分别以AB、ＡＣ为斜边作等腰直角三角形ABM,和ＣAＮ,P是边BC的中点.求证：PＭ＝ＰN家庭作业【习题1】 如图,在等腰中,，是的中点,过作，，且．求证:． 　　　 【习题2】 如图,已知在中，是边上的中线,是上一点，且,延长交于,与相等吗?为什么?【习题3】 如右下图,在中，若，,为边的中点.求证：．月测备选【备选1】如图,已知AB=ＤC,AD=BC，O是BD中点,过O点的直线分别交DＡ、BC的延长线于E,Ｆ.求证：∠Ｅ=∠F【备选２】如图，中,,，是中点，，与交于,与 交于．求证：,.。