第3章-高阶谱估计课件.ppt

2022/7/291第第三三章章 高阶谱估计高阶谱估计3.1 3.1 累积量及高阶谱累积量及高阶谱3.2 3.2 高阶谱估计高阶谱估计3.3 3.3 有色噪声背景下的频率估计有色噪声背景下的频率估计3.4 3.4 高阶谱的应用高阶谱的应用2022/7/2923.1.1、累积量的定义累积量的定义 1、随机变量的特征函数和矩函数 为的第一特征函数其中为概率密度函数 3.1 3.1 累积量与高阶谱累积量与高阶谱2022/7/293第二特征函数：随机变量的特征函数由于2022/7/294高斯分布的随机变量特征函数 n 其特征函数为:2022/7/295令则根据公式：则 2022/7/2961、矩函数的定义 2022/7/2972 2、累积量的定义、累积量的定义 对于随机矢量 其阶数为 的累量为2022/7/298 n 当时,其n阶累量可记为:2022/7/299 对于零均值随机变量对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累三阶以下的矩与累量相等量相等,而而(M-C公式):3.3.高高阶矩与高阶累量的关系阶矩与高阶累量的关系2022/7/2910 4 4、平稳随机过程的累量、平稳随机过程的累量 对于零均值实平稳随机过程对于零均值实平稳随机过程 x(n),(n),其其k k阶矩阶矩(k(k阶相关函数阶相关函数)和和k k阶累量分别为阶累量分别为:2022/7/2911为方差为方差为斜度为斜度为峭度为峭度当当时时,特别称特别称2022/7/29125 5、高斯过程的累积量、高斯过程的累积量 单个高斯随机变量 维零均值高斯随机矢量 2022/7/2913其方差矩阵为其中令联合概率密度函数为高斯随机矢量5 5、高斯过程的累积量、高斯过程的累积量2022/7/2914则特征函数为：显然，与单个变量类似，由于第二特征函数仅为的二阶多项式，大于二阶的导函数必然为零。

5 5、高斯过程的累积量、高斯过程的累积量2022/7/2915n 对于任何高斯随机过程对于任何高斯随机过程 x(n)x(n)的的阶次高于二的阶次高于二的k k阶累量恒等于零，即阶累量恒等于零，即 这是高阶累量作为数学工具，抑制高这是高阶累量作为数学工具，抑制高斯噪声的基础斯噪声的基础结论2022/7/2916n高斯过程的高阶矩只取决于二阶矩高斯过程的高阶矩只取决于二阶矩,也也就是高阶矩不提供比二阶矩更多的信就是高阶矩不提供比二阶矩更多的信息息.n与某一高斯过程具有相同二阶矩的任与某一高斯过程具有相同二阶矩的任意随机过程意随机过程,其其k2k2的高阶累量是衡量的高阶累量是衡量该过程偏离高斯分布的量度该过程偏离高斯分布的量度.2022/7/2917n常量乘积的线性 n 各随机变量的对称性 3.1.23.1.2、累量的性质、累量的性质2022/7/2918 累量的性质 此性质说明此性质说明:两统计独立的随机过程之和的两统计独立的随机过程之和的累量等于各累量之和累量等于各累量之和.所以所以,非高斯信号与独非高斯信号与独立高斯噪声之和的立高斯噪声之和的k(k2)k(k2)阶累量就等于信号阶累量就等于信号的累量的累量.即累量可抑制高斯噪声即累量可抑制高斯噪声.n若x和y统计独立,则2022/7/2919累量的性质累量的性质设有一组线性独立的随机变量 和随机变量y，且有：，则y的k阶累积量为：其中 是随机变量 的k阶累积量，i=1，2，P.2022/7/2920n 两统计独立的随机向量的组合向量的累量恒为零.即若x与y统计独立,则 累量的性质累量的性质2022/7/2921推论:如果w(t)是独立同分布随机过程(I.I.d),则其累量为函数.即式中，为常量。

所以IID过程w(t)又称广义白噪声过程2022/7/2922归一化累积量n在盲解卷积中，有时希望累积量与信号的幅度无关，即W和aW的累积量是一样的，a是非零常数此时就要定义(p，q)阶的归一化累积量：其中 不为零通常阶数p、q取为pq一般取q=2，这时 当采用归一化累积量时，显然有 成立，即归一化累积量与信号的幅度无关2022/7/2923 3.1.3 3.1.3、高阶谱高阶谱1 1、定义、定义：假定随机过程x(n)的k阶累量是绝对可和的，则其k阶谱是k阶累量的(k-1)维傅里叶变換，即 2022/7/2924当k=3时,三阶谱(双谱),并记为：四阶谱(三谱)：高阶谱的逆变換公式为：2022/7/2925高斯过程的k2的k阶谱恒为零；非高斯的、广义白噪声过程(I.I.d.)的高阶谱为平坦谱，即(常数)n 两种特殊的高阶谱：两种特殊的高阶谱：2022/7/29262、高阶谱的性质、高阶谱的性质:n 高阶谱一般为复函数,即可表示相位信息2022/7/2927n高阶谱是以2为周期的多维周期函数,即 包含全部信息的主值周期,一般指下述区域:2 2、高阶谱的性质、高阶谱的性质:2022/7/2928n 高阶谱具有对称性(源于累量的对称性),以双谱为例 此外,对于实信号还应满足共轭对称性,即2 2、高阶谱的性质、高阶谱的性质:2022/7/2929所以,双谱共有12个对称区域(如图所示)2022/7/2930n 综合考虑周期性与对称性,双谱的主值区域为:2022/7/29312022/7/29323.2 高阶谱估计 从己知一段样本序列x(1),x(2),.,x(N)出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类似,也可分为非参数法和参数法两大类。

3.2.13.2.1、非参数法谱估计非参数法谱估计 1 1、基本思路：、基本思路：假定n=N+1范围内,样本值x(n)=0,由高阶谱的定义直接构造谱估计式2022/7/29332、优缺点：非参数法高阶谱估计的优点是简单、易于实现、可以使用FFT算法但与功率谱估计的传统方法一样，它存在以下三个主要问题：频谱泄漏频谱泄漏：平稳随机过程的样本序列应为双边无限序列，在非参数法高阶谱估计中假定n=N+1时x(n)恒等于零，必将导致矩函数的估计结果被“截尾”，与传统的功率谱估计方法类似，这将在所估计的高阶谱中产生“频谱泄漏”为改善高阶谱估计的性能，减少“频谱泄漏”，必须对矩函数估计值进行适当的加窗处理2022/7/2934 频率分辨率频率分辨率：在非参数法高阶谱估计中，其富里叶变换都是用DFT实现的因此，最后得到的高阶谱谱线间的距离(频率分辨率)必然与所用的样本序列的长度成反比即用于计算DFT的时间序列长度越长，则频率分辨率越高2022/7/2935估计方差估计方差：可以证明,非参数法高阶谱估计是渐近无偏的，但一般存在较大的估计方差为减少估计方差，可采用时域平滑或频域平滑的方法，但平滑的结果必然使频率分辨率下降。

因此，估计方差与频率分辨率之间的矛盾是非参数法谱估计的固有矛盾2022/7/29363 3、确定性信号的高阶谱、确定性信号的高阶谱2022/7/2937n平滑周期图法(直接法)4、主要方法：2022/7/2938MATLAB实现：bspec,waxis=bispecd(x,nfft,wind,samp_seg,overlap)x：时域信号；nfft：FFT的长度；wind：Rao最优窗函数的长度；samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度；bspec：等高线显示的直接法双谱；waxis：频率点矩阵；2022/7/2939n间接法：先估计高阶累量，再进行DFTMATLAB实现：bspec,waxis=bispeci(x,nlag,samp_seg,overlap,flag,nfft,wind,)x：时域信号；nfft：FFT的长度；wind：窗函数类型；samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度；nlag：计算累积量的最大延迟；flag：是否有偏；bspec：等高线显示的间接法双谱；waxis：频率点矩阵；4、主要方法：2022/7/29401 1、BBRBBR公式公式:与功率谱估计类似,参数法高阶谱估计仍是依据高阶谱的信号模型。

但与功率谱估计不同之处在于：它不限定信号模型它不限定信号模型为最小相位系统为最小相位系统,并且广义白噪声过程并且广义白噪声过程 e(n)e(n)应为非高斯分布应为非高斯分布H()e(n)x(n)3 3.2.2.2.2、参数法谱估计参数法谱估计的的基本思路基本思路2022/7/2941n对于上述信号模型，有卷积定理成立n两边取k阶累量，并注意到广义白噪声的累量为多维函数,即得2022/7/2942n写成Z域形式即得2022/7/2943n推广到e(n)为非高斯有色噪声的一般情况有:2022/7/2944n 对于因果非最小相位系统(极点在单位园内,但零点可在单位园外所以传递函数必在单位园外收敛，其单位取样响应必为因果序列)则得 2022/7/2945n 对于常用的双谱和三谱估计,则有:2022/7/2946 由己知的一段样本序列x(n)估计k阶累量,一般k=；n 按一定算法建立k阶累量与信号模型参数的关係式,求解此关係式得模型参数；n 按BBR公式求信号x(n)的k阶谱所以,k阶谱估计的主要问题是如何执行第二步n 对巳知信号进行去均值的予处理；2 2、谱估计的基本思路：、谱估计的基本思路：2022/7/2947基于MA因果信号模型的算法推导思路与功率谱参数法类似，以BBR公式(相当于第一章所述的谱分解定理)的时域形式为基础进行推导。

3.2.33.2.3、MAMA模型参数估计模型参数估计2022/7/2948对于MA信号，其三阶累量可记为：令 得1 1、c(q,n)c(q,n)公式法公式法2022/7/2949 此算法对高阶累量估计误差比较敏感，所以实际中很少采用公式在理论推导中经常用到2022/7/2950功率谱与高阶谱的关系定义带参量的切片：作Z变换得 2 2、RCRC算法算法相关函数与高阶累量的混合算法(GM算法)；2022/7/2951按k阶累量定义按Z变换的性质必可得2022/7/2952因为功率谱可表示为：2022/7/2953对于为一维对角切片的Z变换，又称为1.5维谱2022/7/2954 GM方法假定线性系统为MA模型 个未知数要使方程可解，方程数必须大于未知数，如何获得这么多有效方程呢？2022/7/2955所以下式滿足时，上式非零再考虑到条件则非零条件为2022/7/2956取可以建立矩阵方程组M为和构成的矩阵，维数为2022/7/2957 当矩阵M为列满秩时，上述超定方程组有最小二乘解并按下式求取MA参数2022/7/2958GM算法有以下几个问题：(a)算法把MA参数及其平方同时作为相对独立的参数进行求解，这样得到的估计只能是次优的。

b)系数矩阵可能不能满足列满秩条件，这样就没有唯一最小二乘解，而只能计算最小二乘最小范数解因此如何选择的取值范围，使具有列满秩仍是一个未解决的问题c)当观察数据中含有加性高斯噪声时，由于噪声自相关函数的存在，可能使算法失效2022/7/2959n RC算法的MATLAB实现：Bvec=maest(x,q,norder,samp_seg,overlap,flag)x：待估计信号；q：ma的阶数；norder：累积量的阶数；overlap：每段重迭数；samp_seg：每个分段长度；flag：估计是否有偏；2022/7/2960 定阶算法的MATLAB实现：q=maorder(x,qmin,qmax,pfa,flag)Pfa：允许的出错概率；flag：非零值时显示相关量P=arorder(x,norder,pmin,pmax,pfa,flag)norder：使用的累积量阶数 ARMA估计的MATLAB实现：avec,bvec=armaqs(x.p,q,norder,maxlag,samp_seg,overlag,flag)2022/7/29613.3.1、谐波过程的累量(Cumulantes of Harmonic Processes)1 1、谐波过程谐波过程 相位为在内均匀分布的随机变量。

3.33.3有色噪声中的频率估计有色噪声中的频率估计20。