线性代数-第一章总结.docx

第一章 行列式线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题行列式是由研究线性方程组产生的，它 是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用本章的教学基本要求： 了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列） 展开定理计算行列式的方法， 会计算简单的 n 阶行列式理解和掌握克拉默 （Cramer ）法则本章的重点及难点： 利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是 三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组§ 1 二阶、三阶行列式一、内容提要1．二阶行列式的定义其中 a 称为行列式的元素， ija11a21aija12a22=a a 一 a a11 22 12 21的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的 展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则 得到，即：1221 22=a a 一 a a11 22 12 21其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式aaa111213aaa212223aaa3132332．三阶行列式的定义=a a a + a a a + a a a 一 a a a 一 a a a 一 a a a11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32三阶行列式的展开式也可以用 对角线法则 得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。

二、例题分析例 1 求解二元线性方程组「3x + 2 x = 2£ 1 2I x + 4 x = 31 23 2解：由于系数行列式 D = = 3 x 4 - 2 x 1 = 10丰01 42 23 2D ==2 x 4 - 2 x 3 = 2 , D ==3 x 3 - 2 x 1 = 713 421 3所以方程组有唯一解为：x =2 = 0.2, x = —2 = 0.71D2D1 2 3例 2 计算行列式D = -1 3 42 5 2解 D = 1 x 3 x 2 + 2 x 4 x 2 + 3 x (-1) x 5 - 3 x 3 x 2 - 2 x (-1) x 2 -1 x 4 x 5 = -27例 3 计算行列式aaaa00aa111213a011D =1112；D =0aa；D =11；D =aa010a222233aa421222200a2122aaa33313233解： 由对角线法则有： D1 = a11a22 ； D2 = a11a22a33D = a a9D=aaa3 11 22411 22 33a00特别地：a01111=a a ；0a0=a a a0a11 222211 22 332200a33三、小结 对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。

由例 3 得结论：（1） 上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积（2） 对角行列式等于主对角线上元素的乘积§ 2 全排列及其逆序数一、内容提要排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 P 表示.nP = n!n逆序在一个排列p p…p…p…p中，若p > p，则称这两个数组成一个逆序.1 2 s t n s t排列p p…p中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数记为T (p p…p )1 2 n 1 2 n排列p p…p 中,考虑元素p (i = 12…,n)，如果比p大的且排在p前面的元素有t1 2 n i i i i个，则称元素p的逆序数是t记为t (p ) = ti i i i奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列特别地，标准排列1，2,…，n的逆序数t (123…n) = 0 规定，标准排列是偶排列二、例题分析排列p p…p中，考虑比p (i = 1,2,…,n)大，且排在p前面的元素的个数，就可以1 2 n i i排列的逆序数即t(p p…p ) = ( p前面比p大的数的个数)+( p前面比p大的数的个数)+…1 2 n 1 1 2 2…+ ( p前面比p大的数的个数)nn=t(pi) +t(p2) + …+ t(p )；12n同样，考虑比p (i = 1,2,…,n -1)小，且排在p后面的元素的个数，就可以排列的逆序 ii数。

即t(p p…p ) =( p后面比p小的数的个数)+( p后面比p小的数的个数)+…1 2 n 1 1 2 2…+ ( p后面比p小的数的个数)n-1 n -1例 4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性1) 5 3 2 1 4； (2)n (n-1)…空 1 ； (3)(2k) 1 (2k-1) 2 (2k-2) 3 (2k-3)…(k+1) k解：(1) 5 3 2 1 4t(5)=0， t(3)=1， t(2)=2， t(1)=3， t(4)=1因此， t (53214) = 0 +1 + 2 + 3 +1 = 7此排列为奇排列2) n (n-1)…2 1t (n) = 0， t (n — 1) = 1， t (n — 2) = 2，…，t (3) = n — 3， t (2) = n — 2， t (1) = n — 1 因此，t ⑷-1)(n — 2)…创=0 +1 + 2 + …+ (n — 2) + (n —1)=呼当n = 4k, 4k +1时，排列为偶排列；当n = 4k + 2, 4k + 3时，排列为奇排列3) (2k) 1 (2k—1) 2 (2k-2) 3 (2k—3)…(k+1) kt (2k) = 0 , t ⑴=1,t (2k -1) = 1,t (2) = 2 , t (2k — 2) = 2,t (k — 1) = k — 1 ,t (k +1) = k — 1, t (k) = k。

因此，t [(2k)1(2k — 1)2(2k — 2)…(k +1)k] = 0 + 2[1 + 2 + …+ (k — 1)] + k =2 • g+k=k 22当 k 为偶数时，排列为偶排列； 当 k 为奇数时，排列为奇排列问排列 p p … p p 的逆序数是多少？n n —1 2 1,n —1） ，则在排列ip 前 面 比 p 大 的 数 共 有 （ n — i ） — k 个 i i i例5 设 p p … p 的逆序数为 k1 2 n解：若在排列p p…p中，p后面比p小的数共有k个（i = 1,2,-1 2 n i in n —1p p … p p 中， p 前面的数共有 n—i 个，2 1 i（i = 1,2,…,n — 1）由已知有n—1k + k + •…+ k = k12所以排列p p …p p的逆序数为n n —1 2 1[（n 一 1） 一 k ] + [（n 一 2） 一 k ] + + {[n 一 （n 一 1）] 一 k }1 2 n —1=也岂—（k + k + •••+k ）=91 一k2 1 2 n —1 2三、小结求排列 p p … pn 的逆序数的方法：1 2 n（1） T（p p…p ） =（ p前面比p大的数的个数）+（ p前面比p大的数的个数）+…1 2 n 1 1 2 2…+ （ p前面比p大的数的个数）nn=t（p’）+T（p2） + …+t（p ）；1 2 n（2） t（p p…p ） =（ p后面比p小的数的个数）+（ p后面比p小的数的个数）+…1 2 n 1 1 2 2…+ （ p后面比p小的数的个数）。

n —1 n—1§ 3 n阶行列式的定义一、内容提要由n2个元素a (i, j = 1,2,…,n)组成的记号ijaa… a11121naa… aD = 21222n•*•aa… an1n2nn称为n阶行列式其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，各项的符号 是：当这一项中的 n 个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取 正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即aa ・… a11121naa •… a=工D =21222 n(-1)t(p1 P2…pn)a a •-a:::1 p1 2 p 2 npnP1P2'pnaa •… an1n2nn行列式简记为 det(a )/一阶行列式为|a| = an 阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的 展开式二、例题分析例 6 判别aaaaaa14 23 31 42 56 66和—715a24a43忍1"66是否为六阶行列式中的项分析：判别是否为 n 阶行列式中的项，要考虑：1)n 个元素是否位于不同行，不同列；2)确定其符号解：ai4a23a31a42a56°66不是六阶行列式中的项这是因为，咯与 a66都位于第6列。

一 a a a a a a32 15 21 43 51 66是六阶行列式中的项首先，一 a32a15a24a43S很中的6个元素位于不同行，不同列；再有,一 a a a a a a = - a a a a a a 32 15 24 43 51 66 15 24 32 43 51 66确定其符号：t(p p…p ) =t(542316) = 9，因此，应带负号1 2 6N阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算但对于一般性的行列式，常用后面 将要学到的性质与定理进行简化计算对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可即行列式的展开式中不为。