高三数学培优补差2辅导专题讲座数列单元易错题分析与练习.doc

数列单元易错题分析1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？① 基本量方法：抓住及方程思想；②利用等差（等比）数列性质）.[问题]：在等差数列中，，其前，的最小值； 3、解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗？4、在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗？(时，应有)5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题） [问题]：已知: 6、你知道存在的条件吗？（,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)例题选讲1、不能正确地运用通项与前n项和之间的关系解题：例1、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：（1）Sn＝5n2＋3n；（2）Sn＝－2； 【错解】由公式an=sn－sn－1得：（1）an=10n－2; （2）【分析】应该先求出a1，再利用公式an=sn－sn－1求解.【正解】（1）an=10n－2; （2）2、忽视等比数列的前n项和公式的使用条件：例2、求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n) .【错解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an) －(1＋2＋3＋…＋n)=.【分析】利用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值不能为1.【正解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an) －(1＋2＋3＋…＋n)当a=1时，S =；当时，S=3、 忽视公比的符号例3、已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．【错解】四个数成等比数列，可设其分别为则有，解得或，故原数列的公比为或【分析】按上述设法，等比数列的公比是，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件。

正解】设四个数分别为则，由时，可得当时，可得变式、等比数列中，若，，则的值（A）是3或－3 （B） 是3 （C） 是－3 （D）不存在【错解】 是等比数列， ，，成等比，＝9，选A【分析】，，是中的奇数项，这三项要同号错解中忽视这一点正解】C4、 (见手写P13－25 13)5、 (见手写P14－25 14)6、缺乏整体求解的意识例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求【错解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为 则依题意有 ，三个方程，四个未知数，觉得无法求解分析】 在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将作为一个整体，不能解决问题事实上，本题求，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的性质，，求出即可知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解正解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为则依题意有 ，可得 ，代入(3)有 ，从而有， 又所求项恰为该数列的中间项，例7　(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误解法 ，。

错误分析 在错解中，由，时，应有在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形正确解法 若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意 Þ Þ ,即因为，所以所以解得 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分例题7　已知等比数列{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证明am，am＋2，am＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2(Sm＋am＋1＋am＋2)＝Sm＋(Sm＋am＋1)，∴am＋2＝－am＋1，即数列{an}的公比q＝－. ∴am＋1＝－am，am＋2＝am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差数列. (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列. 设数列{an}的公比为q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．由题设，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－. 当q＝1时，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差数列.逆命题为假.例题8　已知数列{an}满足a1=1，a2=－13， （Ⅰ）设的通项公式； （Ⅱ）求n为何值时，最小（不需要求的最小值）解：（I） 即数列{bn}的通项公式为（Ⅱ）若an最小，则注意n是正整数，解得8≤n≤9∴当n=8或n=9时，an的值相等并最小例题9　已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0．　 （Ⅰ)求函数f(x)的表达式；　 （Ⅱ)设数列{an}满足条件：a1∈(1,2)，an+1=f (an) 求证：(a1－ a2)·(a3－1)+(a2－ a3)·(a4－1)+…+(an－ an+1)·(an+2－1)＜1解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以 x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，对由f '(1)=0，得b=3，c=0，故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x． (Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)令bn=an－1，0

例题10、平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上．（1）试用与n来表示；（2）设，且12＜a≤15，求数列中的最小值的项．解：（1）点都在斜率为6的同一条直线上，，即，于是数列是等差数列，故． ，，又与共线， ． 当n＝1时，上式也成立．所以an． （2）把代入上式，得 12＜a≤15，， 当n=4时，取最小值， 最小值为a4=18－2a． 基础练习题1、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，则an = ________2n－1(认清项数)2、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，则 b2 (a2－a1) = A(符号)(A) －8 (B) 8 (C) － (D) 3、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。

忽视公比q = －1）4、已知等差数列{an}的首项a1=120，d=－4，记Sn= a1＋a2＋…＋an，若Sn≤an（n＞1），则n最小值为……………………………………………………………（　　B　　） 　　(A)60 　　(B)62 　　　(C)63　　　　　 (D)705、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（C ）(A) (B) (C) (D) 6、若数列中，，且对任意的正整数、都有，则（A） （B） （C） （D） ( C)7、已知数列的前项和为非零常数），则数列为（ ）（A）等差数列 （B）等比数列（C）既不是等差数列，又不是等比数列 （D）既是等差数列又是等比数列8、设数列{an}是等比数列，，则a4与a10的等比中项为 （ ） A． 　　　　B．　　　 C． 　　　　D．9、设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）10、设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。

11、等差数列的前项和为，公差. 若存在正整数，使得，则当（）时，有（填“>”、“<”、“=”）． 12、设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，则 ，，…， 中最大的是 B (A) (B) (C) (D) 13、已知数列为等差数列，则“”是“”的（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 易错原因：不注意为常数列特殊情况.14、“”是实数成等比数列的 （D）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 易错原因：对等比数列的概念理解不全面.15、等差数列中，若，则的值为 （B）A. B. C. D.易错原因：找不到简捷的解法，用联立方程组求解时发生运算错误.16、等差数列中，为其前项的和，则 （B）A.都小于，都大于 B.都小于，都大于C. 都小于，都大于 D. 都小于，都小于易错原因：已知条件不会灵活运用.17、在等差数列中，若，则的值是 （C）A. B. C. D.不能确定 易错原因：找不到与的关系.18、若为等比数列，，若公比为整数，则（C）A. B. C. D. 易错原因：①未考虑为整数；②运算发生错误.19、数列中，，则为 （C）A. B. C. D. 易错原因：①对取特殊值排除有些选项的意识不强；②构造新数列有困难.20、数列满足，且，则首项等于 （D）A. B. C. 。