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华东第四版数学分析答案【篇一：数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编】部分习题参考解答p.4 习题1．设 a 为有理数， x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当 a?0 时，ax 是无理数 证明 （1）（反证）假设 a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x =a +x –a 是有理数这与题设 “x为无理数 ”矛盾，故 a + x 是无理数 （2）假设 ax 是有理数，于是 x?ax 是无理数5．证明：对任何 x?r 有（1）|x?1|?|x?2|?1 ； （2）|x?1|?|x?2|?|x?3|?2 证明 （1） 1?|(x?1)?(x?2)|?|x?1|?|x?2|（2）因为 2?|x?3|?|2?(x?3)|?|x?1|?|x?1|?|x?2| ，所以|x?1|?|x?2|?|x?3|?2 6 ．设 a,b,c?r 证明| ?axa是有理数，这与题设 “x为无理数 ”矛盾，故 a?b 22 ?a?c 22 |?|b?c| 证明 建立坐标系如图，在三角形 oac 中，oa 的长度是 a?b ，oc 的长度是 a?c ， ac 的长度为 |b?c| 。

因为三角形两边的差 大于第三边， 所以有2 2 2 2|a?b22 ?a?c 22 |?|b?c|7．设 x?0,b?0,a?b ，证明 a?xb?xa?bb?xa?xb?x 介于 1 与ab ab 之间证明 因为 ?1?? |a?b|b??1 ，a?xb?x a?xb?x ? abab? (b?a)xb(b?x)? |a?b|b? ab ?1所以介于 1 与之间p 是无理数 p?nm8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则证明 （反证）假设p 为有理数，则存在正整数 m、n 使得，其中 m、n 互素于是 m2p?n2 ，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得 n?kp 于是 m2p?k2p2 ，m2?k2p ，从而 p 是m 的约数，故 m、n 有公约数 p 这与 “m、n 互素 ”矛盾所以p.9 习题2．设 s 为非空数集，试对下列概念给出定义： （1）s 无上界；若?m ，?x0?s ，使得 x0?m ，则称 s 无上界请与 s 有上界的定义相比较：若 ?m ，使得 ?x?s ，有 x?m ，则称s 有上界） （2）s 无界若?m?0 ，?x0?s ，使得 |x0|?m ，则称 s 无界。

请与 s 有界的定义相比较：若 ?m?0 ，使得 ?x?s ，有|x|?m ，则称s 有界） 3．试证明数集 s?{y|y?2?x,x?r} 有上界而无下界2证明 ?x?s ，有 y?2?x?2 ，故 2 是 s 的一个上界 2p 是无理数 1而对?m?0 ，取 x0? 集 s 无下界23?m ，y0?2?x0??1?m?s ，但 y0??m 故数4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）s?{x|x2?2,x?r} 解 sups? 类似进行）x?s ，有?下面依定义加以验证 sups?2 ，infs??2 2（infs??2 可2?x?2 ，即 2 是 s 的一个上界， ?2 是 s 的一个下界 2???2，则由实 ???2，若???2 ，则?x0?s ，都有 x0?? ；若? 2???r?数的稠密性，必有实数 r ，使得 ? sups?22，即 r?s ，?不是上界，所以（2）s?{x|x?n!,n?n?}解 s 无上界，故无上确界，非正常上确界为 sups??? infs?1 x?s ，有 x?n!?1 ，即 1 是 s 的一个下界；???1 ，因为 1?1!?s ，即?不是 s 的下界。

所以 infs?1 3)s?{x|x 为(0,1) 内的无理数 }解 仿照教材 p.6 例 2 的方法，可以验证： sups?1 infs?07．设 a、b 皆为非空有界数集，定义数集 a?b?{z|z?x?y,x?a,y?b}证明：（ 1）sup(a?b)?supa?supb ； （2）inf(a?b)?infa?infb 证明 （1）因为 a、b 皆为非空有界数集，所以 supa 和 supb 都存在z?a?b ，由定义分别存在 x?a,y?b ，使得 z?x?y 由于 x?supa ，y?supb ，故 z?x?y?supa?supb ，即 supa?supb 是数集 a?b 的一个上界2（要证?不是数集 a?b 的上界）， ??p???supa?supb ，usb?pusa，由上z0?a?b 因此 supa?supb 是数集 a?b 的上确界，即 sup(a?b)?supa?supb另证 ?z?a?b ，由定义分别存在 x?a,y?b ，使得 z?x?y 由于x?supa ，y?supb ，故 z?x?y?supa?supb ，于是sup(a?b)?supa?supb ①由上确界的定义， ???0 ，?x0?a ，使得 x0?supa? y0?supb?? 2，?y0?b ，使得 ? 2，从而 sup(a?b)?x0?y0?supa?supb?? ，由教材 p.3 例 2，可得sup(a?b)?supa?supb ②由①、②，可得 sup(a?b)?supa?supb 类似地可证明： inf(a?b)?infa?infbp.15 习题 ? 2, ? 2 ] 的分段线性函数，其图象如图。

11．试问 y?|x| 是初等函数吗？ 解因为 y?|x|?y?|x| 是初等函数 3 x 2，可看成是两个初等函数 y?u 与 u?x 的复合，所以 212．证明关于函数 y??x? 的如下不等式：（1）当 x?0 时，1?x?x （2）当 x?0 时，1?x?x??1?x??1?x???? 证明 （1）因为?1?1?1??1??1?，所以当 x?0 时，有 x???1?1?x?x ，?x???????x???x??x??x? ?1??1?从而有 1?x?x ?x??1??（2）当 x?0 时，在不等式 ?1?1?1????1 中同时乘以 x，可得 ?x???x???x? ?1? ?1??1??1?x???x?1?x?? ，从而得到所需要的不等式1?x???1?x ?x??x??x?p.20 习题 1．证明 f(x)?xx?12是 r 上的有界函数 xx?12证明 因为对 r 中的任何实数 x 有 所以 f 在 r 上有界2．（1）叙述无界函数的定义； （2）证明 f(x)? 1x 2 ? x2x? 12 (?x2?1?2|x|)为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0 ，1] 上的无界函数。

解（1）设函数 f(x)若对任何 m?0 ，都存在 x0?d ，使得 |f(x0)|?m ，x?d ，则称 f 是 d 上的无界函数2）分析： ?m?0 ，要找 x0?(0,1) ，使得 1x02?m 为此只需 x0?1m证明 ?m?0 ，取 x0? 区间（ 0，1）上的无界函数 1m?1，则 x0?(0,1) ，且 1x2?m?1?m ，所以 f 为 4【篇二：数学分析教案 (华东师大版 )第十四章幂级数】目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题； 2.理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别 教学时数： 12 学时1 幂级数（ 4 时 ）幂级数的一般概念 . 型如由系数数列和的幂级数 . 幂级数唯一确定 . 幂级数至少有一个收敛点 . 以下只讨论型如的幂级数 .幂级数是最简单的函数项级数之一 .一.幂级数的收敛域 :1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域： th 1 （ abel ） 若幂级数式的任何 ，幂级数在点收敛 ， 则对满足不等发散 ，收敛而且绝对收敛 ；若在点发散.则对满足不等式证的任何 ，幂级数收敛,{}有界 .设||, 有|, 其中 ..定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构 .定义幂级数的收敛半径 r. 收敛半径 r 的求法 . th 2对于幂级数, 若, 则ⅰ时,;ⅱ 时; ⅲ时.证致的 ).⋯ ⋯, (强调开方次数与 的次数是一由于, 因此亦可用比值法求收敛半径 .幂级数的收敛区间: .幂级数的收敛域 : 一般来说, 收敛区间、、收敛域 .幂级数或的收敛域是区间之一.例 1 求幂级数的收敛域 .例 2 求幂级数的收敛域.例 3 求下列幂级数的收敛域 :⑴2. 复合幂级数; ⑵: 令 ，则级数., 则化为幂级数.设该幂级数的收敛区间为的收敛区间由不等式确定.可相应考虑收敛域 .特称幂级数为第级数中 ,为正整数 )为缺项幂级数 .其中. 应注意项的系数 . 并应注意缺项幂级数为第项的系数 .并不是复合幂级数 , 该例 4 求幂级数解的收敛域 .是缺项幂级数 .. 收敛区间为. 时,通项. 因此 , 该幂级数的收敛域为.例 5 求级数的收敛域 .解令, 所论级数成为幂级数时级数.由几何级数的敛散性结果 , 当且仅当收敛. 因此当且仅当, 即域为例 6 求幂级数 .时级数收敛. 所以所论级数的收敛的收敛半径 .解 .二． 幂级数的一致收敛性：th 3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛 .证, 设, 级数, 则对, 有绝对收敛 , 由优级数判别法 ,在区间幂级数在闭一致收敛 .上一致收敛 . 因此 , 幂级数内th 4 设幂级数的收敛半径为在区间,且在点( 或( 或)收敛,则幂级数)上一致收敛 .证. 收敛 , 函数列在区间在区间上一致收敛 .上递减且一致有界 ,由 abel 判别法,幂级数易见 , 当幂级数在区间的收敛域为 (时 , 该幂级数即上一致收敛 .三. 幂级数的性质 :1. 逐项求导和积分后的级数 :设,*) 和 **)仍为幂级数 . 我们有命题 1*) 和 **)与值得注意的是， *) 和 **)与有相同的收敛半径 . ( 简证 )虽有相同的收敛半径（ 因而有相同的 .收敛区间），但未必有相同的收敛域 ， 例如级数2.幂级数的运算性质 :定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数 .命题2,.(由以下命题 4 系 2)命题 3 设幂级数, 则和的收敛半径分别为和,ⅰ, — const ， .ⅱ +, .【篇三：华东师大数学分析习题解答 1】。