第五节二阶常系数线性微分方程1.ppt

一阶线性方程一阶线性方程对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常数变易法常数变易法二阶微分方程二阶微分方程复习复习:第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程•内容提要内容提要 1. 1. 二阶常系数齐次线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程； 2. 2. 二阶常系数线性微分方程解的结构二阶常系数线性微分方程解的结构. . 3. 3. 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法.•教学要求教学要求 1. 1. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法； 2. 2. 了解二阶常系数线性微分方程解的结构了解二阶常系数线性微分方程解的结构. . 3. 掌握二阶常系数线性微分方程的解法掌握二阶常系数线性微分方程的解法.形如形如（（1））称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程.称为二阶齐次线性微分方程称为二阶齐次线性微分方程.称为二阶非齐次线性微分方程称为二阶非齐次线性微分方程.（（2））一、二阶一、二阶线性微分方程的概念线性微分方程的概念二、二阶线性微分方程的解的结构二、二阶线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :证明证明解的线性组合解的线性组合证毕证毕问题问题: :例如例如例如例如线性无关线性无关线性相关线性相关定义定义:例如例如线性无关线性无关例如例如2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :证明证明证毕证毕说明说明:若求若求 的通解的通解 则则 的通解为的通解为解的叠加原理解的叠加原理该定理的证明该定理的证明(P140)1、定义、定义1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式三、三、 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法(p,q为常数为常数)(p,q为常数为常数)2、二阶常系数齐次线性方程的解法、二阶常系数齐次线性方程的解法将其代入上方程将其代入上方程, 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根(p,q为常数为常数)是方程的解是方程的解.ⅠⅠ 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解：两个线性无关的特解：得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为设特征根为设特征根为如如特征方程为特征方程为ⅡⅡ 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为如如特征方程为特征方程为ⅢⅢ 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为设特征根为设特征根为如如特征方程为特征方程为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .总之总之解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解得解得故所求特解为故所求特解为解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例3 3小结小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（（2）求出特征根）求出特征根;（（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. 复习复习对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构f(x)常见类型常见类型难点难点：：如何求特解如何求特解y*？？方法方法：：待定系数法待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程的解法二阶常系数非齐次线性方程的解法(P,q为常数为常数)设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程一、一、 型型综上讨论：非齐次方程综上讨论：非齐次方程的的通解通解y*可以设为：可以设为：★★特别地特别地B是待定常数是待定常数★★特别地特别地（（A是常数）是常数）解解特征方程特征方程例例1 1比较系数，得比较系数，得解解特征方程特征方程代入方程代入方程, 得得例例2 2C,D是待定常数是待定常数.A,B,λω是常数是常数以上的推导过程省略以上的推导过程省略,只要求我们会用它只要求我们会用它.的的特解特解y*可设为：可设为：解解特征方程为特征方程为所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为例例3 3这里这里解解特征方程特征方程代入原方程代入原方程所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为例例4 4对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解解解特征方程特征方程例例5 5★★请设出下列方程的一个特解：请设出下列方程的一个特解：二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法　　待定系数法待定系数法.三、小结三、小结例例60t8:209:201解解人人死后体温调节功能消失，尸体温度死后体温调节功能消失，尸体温度T(t)受外界受外界环境的影响，服从牛顿冷却定理环境的影响，服从牛顿冷却定理.故故张某不能被排除在嫌疑犯之外张某不能被排除在嫌疑犯之外.基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构二阶常系数线性齐次方程的解f(x)f(x)的形式及的形式及二阶常系数非齐次二阶常系数非齐次线性方程的解线性方程的解二阶方程二阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法本章主要内容本章主要内容注意注意:。