（文章）巧添辅助线妙解圆问题.doc

巧 添 辅 助 线 妙 解 圆 问 题——与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考——一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）例1.如图，以Rt△ABC的直角顶点A为圆心，直角边AB为半径的⊙A分别交BC、AC于点D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求⊙A的半径解：过A作AH⊥BD于H，则∵BA⊥AC，∴∠CAB=∠AHB=90°又∵∠ABH=∠CBA，∴△ABH∽△CBA，∴，∴，∴ 例2.如图，AB是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：证明：过O作OC⊥NP于点C，则∵OC⊥NP，PO⊥AB，∴∠POM=∠PCO=90°又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，∴，∴，即评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。

二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角）例3.如图，AB为半圆的直径，OH⊥AC于H，BH与OC交于E，若BH=12，求BE的长解：连结BC∵ AB为直径，∴ AC⊥BC又∵OH⊥AC，AO=BO，∴ OHBC，∴ ∠OHE=∠CBE，∠HOE=∠BCE，∴△OHE∽△CBE，∴，∴例4.如图,AB是半圆的直径, C为圆上的一点, CD⊥AB于D, 求证:证明：连结AC、BC∵ AB为直径，∴ ∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°又∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，∴△BCD∽△CAD，∴，即评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例5.如图，已知MN为⊙O的直径，AP是⊙O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求∠A的度数解：连结OP，设∠A的度数为x∵PA=PM，∴∠M=∠A，同理可得∠OPM=∠M，∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x。

又∵AP切⊙O于点P，∴AP⊥OP，∴∠A+∠POA=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，∴∠A=30°例6.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证∠1=∠2证明：连结OC∵DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC又∵AD⊥DC，∴OC∥AD，∴∠1=∠3∵OA=OC,∴∠2=∠3，∴∠1=∠2评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图, 点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°,AB=6，求⊙O半径的长解：作直径AD，连结BD∵∠ACB与∠D都是所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴，∴例8.如图，在锐角△ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的外接圆半径为R，求证：证明：作直径CD，连结BD∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∴又∵∠A=∠D，∴，即，同理可得，，∴评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。

五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例9.如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC证明：过点A作⊙O1与⊙O2的公切线AM交BC于点M∵MA和MB分别切⊙O1于点A、B，∴MA=MB，同理可得MA=MC，∴MA=MB=MC，即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上，∴AB⊥AC例10.如图，⊙A和⊙B外切于点P，CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，若⊙A与⊙B的半径分别为r和3r,求：⑴CD的长；⑵∠B的度数解：连结AB，连结AC、BD，过点A作AE⊥BD于E⑴、∵CD是⊙A和⊙B的外公切线，C、D为切点，∴AC⊥CD，BD⊥CD又∵AE⊥BD，∴四边形ACDE为矩形，∴CD=AE，DE=AC=r，∴BE=BD-DE=3r-r=2r∵AB=r+3r=4r，∴⑵、在Rt△AEB中，∵，∴∠B=60°评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和（或差）等性质来沟通两圆间的联系六、两圆相交，常作公共弦（或者作两圆的连心线）例11.如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，AD是⊙O1的直径，且圆心O1在⊙O2上，连结DB并延长交⊙O2于点C，求证：CO1⊥AD。

证明：连结AB∵ AD为⊙O1的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D+∠BAD=90°又∵∠C和∠BAO1都是⊙O2中所对的圆周角，∴∠C=∠BAO1，即∠C=∠BAD，∴∠D+∠C=90°，∴CO1⊥AD例12.如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为和，公共弦AB的长为12，求∠O1AO2的度数解：连结AB、O1O2，使之交于H点∵AB为⊙O1与⊙O2的公共弦，∴连心线O1O2垂直平分AB，∴，∴，，∴∠O1AH=45°，∠O2AH=30°，∴∠O1AO2=∠O1AH+∠O2AH=75° 评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。