平稳时间序列模型及其特征.ppt

应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材1第二章 平稳时间序列模型及其特征v在本章，我们介绍平稳时间序列的三种主要类型 的模型，AR模型、MA模型、ARMA模型，这三 种模型都是线性模型，它们能用有限的参数刻画 时间序列的动态性尽管线性关系的假定在解决 实际问题时是一个比较苛刻的条件，但无疑它是 理论研究的基础这三种模型是最基本的时间序 列模型之一，对这三种模型性质的研究有助于研 究更为复杂的时间序列模型应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材2 第一节 模型类型及其表示一、预备知识应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材3v一阶差分(相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算)v 阶差p分 v 步差k分对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分▽2xt=▽xt-▽xt-1依此类推，对p-1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为p阶差分应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材42.滞后算子v滞后算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一 个滞后算子，就相当于把当前序列值的时间向过去 拨了一个时刻 v记B为滞后算子，有 应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材5v v v v v ，其中 应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材6v线性差分方程v齐次线性差分方程应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材7v 特征方程v 特征方程的根称为特征根，记作 v 齐次线性差分方程的通解 § 不相等实数根场合§ 有相等实根场合§ 复根场合应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材8应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材9vAR（p）模型 ：vMA（q）模型：vARMA（p，q）模型：应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材10二、自回归模型v一阶自回归模型AR（1） 应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材11应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材12v AR（1）模型的特例——随机游动 应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材13随机游动模型有以下特征： v1）模型有非常强的一期记忆性。

v2）系统的一步超前预测 v3）与AR（1）模型类似，随机游动模型可以写成 ，可以看出噪声对yt的影响并不随着时间的推移 而减弱应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材14v 一般自回归模型模型的特点有：应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材15三、 移动平均模型v一阶滑动平均模型MA（1）v用MA（1）模型作预测，那么得到的预测值仅仅 取决于上期系统的随机扰动项 应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材16q阶滑动平均模型MA（q） v有限个白噪声的和总是平稳的，因此通常MA（q ）模型是平稳的 v如果对该模型作向前一步预测，则有 应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材17四、自回归移动平均模型应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材18应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材19v当q=0时，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模 型，当p=0时，ARMA（0，q）模型就是MA（q ）模型，因此自回归模型和移动平均模型都是 ARMA（p，q）模型的特例 应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材20第二节 格林函数和平稳性v一、ARMA（p，q）的格林函数 v（一）ARMA（p，0）系统的格林函数 v 若一个系统被表示为yt= ，则系数 函数称为格林函数或记忆函数。

应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材21MA（q）过程格林函数为 AR(P)AR（P）过程格林函数为应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材22ARMA（p，q）的格林函数应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材23例2 求模型 的格林函数v 对比等式左右两边有v 因此模型的格林函数 应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材24应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材25二、系统的平稳性v （一）AR(p)系统的平稳性条件平稳域：应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材26例3 求一阶自回归模型 的平稳域v解：即平稳域为：应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材27例4 求二阶自回归模型 的平稳域v解： 特征方程v需满足：v即：应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材28(二) ARMA(p,q)系统的平稳性条件vARMA模型平稳性完全取决于模型中的AR部分， 如果模型中的AR部分是平稳的，则ARMA模型是 平稳的。

应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材29第三节 逆函数和可逆性v一、MA（q）模型的可逆域v逆函数形式:vI（B）称为逆函数应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材30应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材31例5 判断MA（2） 模型 是否可逆v 解：特征方程， v 可逆域为：v 满足可逆条件，因此可逆应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材32二、MA（q）模型的逆函数应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材33例6 求模型 的逆函数v解：应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材34三、ARMA（p，q）的可逆域与逆函数应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材35第四节 平稳时间序列的统计特征v一、自相关函数应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材36应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材37应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材38应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材39v（二） MA（q）的自相关函数应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材40应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材41二、偏相关函数 应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材42应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材43Yule-Wolker方程：应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材44偏相关函数：应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材45本章小结v 1．AR模型、MA模型和ARMA模型是三种基本的线性时间序列模型，能够用有限的参 数刻画系统的动态性。

这三种模型属于随机差分方程，因此特征方程对研究三类模型 的统计特性具有重要意义 v 2．AR模型的逆函数表示是指用无限阶的MA模型来表示有限阶的AR模型，格林函数就 是无限阶MA模型的系数AR模型平稳性条件是 的根在单位圆外或者特征方 程的根在单位内，满足这个范围的自回归系数区域构成平稳域 v 3．将有限阶MA模型表示为无限阶AR模型，就得到MA模型的逆转形式MA模型具有 可逆性的条件是 的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内MA模型的格 林函数与AR模型的格林函数在形式上是一致的 v 4．ARMA模型的平稳性取决于其中AR部分是否平稳，ARMA模型的可逆性取决于模型 中的MA部分是否可逆 v 5．AR模型的自相关函数拖尾，偏自相关函数截尾，MA模型的自相关函数截尾，偏自 相关函数拖尾，ARMA（p，q）的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的。