高三数学培优版-矩阵、行列式-教师版讲义.pdf
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教师姓名学生姓名年 级高三上课时间学 科数学课题名称矩阵与行列式矩阵、行列式A的列数与B的行数相等，AB有意义不满足交换律 高中数学冲刺培优三点共线的充要条件知识分析@一、知识梳理1、矩阵( 1 ) 矩阵、零矩阵、方阵，单位矩阵、系数矩阵和增广矩阵( 2 ) 掌握矩阵的加法、减法及数乘、乘法运算【 注意】两个矩阵的乘积：注意: ①只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时，这两个矩阵乘积才有意义,才可以相乘.②一般地，交换律不成立 A B ^ B A .2、行列式( 1 ) 掌握二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法:设二元- 次方程组( * ) 卜 / +仇 尸 仇a2x-vh2y = c22 ①则当々= 4以 _4仇 片0时，方 程 组 （ * ）有唯一解，可用二阶行列式表示为«2 b2一D . Dx = J A , Q = % c,D c2 b2 a2 c,y = —[' D② 当 =0时,Dx = Dy = 0方程组有无穷组解；③当0 = 0时,Dx声0或Dy H 0方程组无解系数行列式 "b'也为二元一次方程组解的判别式a2 b2（2 ）三阶行列式计算方法①对角线方式展开为 4 %a2 b2 c2 = （21Z >2C3 + a2b3cl + a3b^2 一《 也c? 一 a g q -a3 % c3②按某一行（ 或列） 展开法记 均 = % % 3 , A1|=（ - 1 ）I+ ,M1 1 ；。
32 33% = 如知,%=（ - 1严 限2 ,a3\ 33% = % %, / A T ） " 3 M 3々31々32称M| j为元素/ 的余子式，即将元素与所在的第一行、第j列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（ 类似可以定义其它元素的余子式） ；称A,为 元 素 % 的 代数余子式，4=（ - 1 ） " '必 / （ / = 1 ,2 ,3 ）a\\ a\2 %3则三阶行列式就可以写成 出1 022 "23 = 4 | 4 ] + 4 2 4 2 +13A l3，a3\ 33这就是说， 一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式类似地，若将 按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行（ 列） 展开式 3 ）用三阶行列式求三角形的面积： 高中数学冲刺培优若A43C三个顶点坐标分别为（ X，必） 、（ *2， 8 ）、（ 看， 》3） ，则①若（ 为， 必） 、（ 三 ， 色 ） 、（ 不， 九） 三点呈逆时针，则百y, 1②A、3、 三点共线的充分必要条件为々 为 1=0W 为 1（ 4）三元一次方程组的解法6工+ 济丁 + C]Z = 4设三元一次方程组（ * ） ｛ 。
2% + 与丁 +22 = % ，其中％ ， y， z是未知数，% 、“ 、q （ i = l,2,3）是未a3x^b3y + c3z = d3知数的系数，且不全为零，4 （ i = 1,2,3）是常数项①当0 / 0时，方 程 组 （ * ）有唯一解（DrX =- -£.DD、y 二~ DZ Dz=~D②当0时，方 程 组 （ * ）无解，或者有无穷多解，性质：（ 1）线性方程组的系数行列式OH（ ） ,则它唯一解 2）推论：如果线性方程组无解或解不唯一，则它的系数行列式必为零二、典型例题知识点1：矩阵、系数矩阵、增广矩阵例1 （ 2013理17）在 数 列 中 ，an = 2 " - \,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素% = % ・ % + %+%, （ i = l,2,…,7 " = 1,2,…,12 ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A18 828 C.48 D63答案：A知识点2：矩阵相等与矩阵的运算：力 口 、减和数乘“3 2 — 1A （2 — 3 0、例2、已知4= （ 4 -3 2） ,8=（ 3 -1 2）,且3A+40 = 2 3 ,求矩阵C。
4 解析：由3 A + 4 c = 2 3可得：C = ，8 —2 41 ( 2 - 3 0 1 3 ( 3 2 - T2 ^ 3 - 1 2 厂 - 3 2 ,r_5-4_3「5- 3744\_-2 >a,x + h,y = G例3、给出二元一次方程组彳' / '存在唯一解的条件a2x-^b2y = c2方法一：原方程组对应的系数矩阵为A =为A的两个列向量,则原方程组可表示为x 4 +y 4 =
一2 , 1） ,设女为非零实数，矩阵(k 0 ) (0,N点A、B、C在 矩 阵MN对 应 的 变 换 下 得 到 点 分 别 为A、Bp C 1,△ 4 4 G的面积是A A B C面积的2倍，求女的值.解析：由题设得MN =o V oJun _ ro0尸11,可知k0A（ o, 0 ）、B | （ 0 , - 2 ）、G（ 攵2 ） ,计算得A A B C面积的面积是1, AA4G的面积是| 4 | ,则由题设知 : | 蝴=2 x1 = 2 . 所以k的值为2或- 2 .知识点4 ：矩阵思想的应用例5、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下：中国平新西兰1 ： 1 巴西胜比利时1 ： 0 中国负比利时0： 2巴西胜新西兰5： 0 中国负巴西0： 3 比利时胜新西兰0： 1（ 1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（ 以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）（ 2 ）写出行向量、列向量，并指出其实际意义 3 ）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况;6 （ 排列顺序与（ 1）相同）（ 4）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试 根 据 （ 1） 、（ 2）两个矩阵确定各队名次。
'0 -3 -2 0、’0 0 0 1、3 0 1 53 0 3 3答案：（ 1）(3)（ 4）名次为巴西、比利时、中国、新西兰2 - 1 0 13 0 0 30 -5 -1 0,, 1 0 0 0,试一试、1、列举（ ％ +a2 +的 + 4） （ 仿+b2 + 4 ） 展开式中的项氏b244答案:b24“她她哂〃 2她a2b2她%她a也2a3A牝岫站2a4b3例 6 （ 2014闵行二模理23）设 “ =4 ", 求所有可能的乘积a, -a.（ l< z < ；< / ? ） 的和解析：将所得的积排成如下矩阵：42+2 42+3 .・ ・ 42+,iA = 43 + 3…43+”，设矩阵A 的各项和为S .（ 4）42+1在矩阵的左下方补上相应的数可得8 = 43+|矩阵B中第一行的各数和习= 4? + 43 + …+ 4"+i = y （ 4" 一 1） ，矩阵3 中第二行的各数和$2 =43+4" + …+4>2 = M （ 4"_1） , 高中数学冲刺培优矩阵B 中第〃行的各数和s . = 4 用 + 4 " + 2 + …+ 4 " " =T( 4 " - 1 ) , . . . . .( 1 5 分)从而矩阵B 中的所有数之和为邑+ $ 2 +…+ S“=3(4"—1 ) 2 . . . . . . . . . . . . . ( 1 6 分)所有可能的乘积4 •% ( 14 〃) 的和s=； y ( 4 " - l )2- ( 42+ 44 + - - - + 42 n) + ( 42 + 44 + - - - + 42 , ,) = - ——. . . . . . ( 1 8 分)例 7 、( 2 0 1 3 理 1 8 ) 在边长为1 的正六边形A B C D E F 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为或, 2 , HI ；以 D 为起点，其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 若 加 , M分别为( 7 + 4 + Z > (/ + 4 ' + 4 " ) 的最小值、最大值，其中{ iJM} = { l , 2 , 3 , 4 , 5 }, { r , s , f } = { l , 2 , 3 , 4 , 5 }, 则in, M 满 足 ( ).( A) m ^ O , M > 0 ( B) m < O , M > 0 ( C ) m < O , M = 0 ( D) m < 0, M < 0答案：D建系或者使用投影法做出下面表格可知从中任意取出三行三列组成的矩阵的元素之和总小于0,故答案选D知识点5 、二阶行列式的计算%工点-1_3-2-102_3-2-3-3_3-20-1-3-4-3-10_3~2-3-3_3~22_20-1_3~2-18 a b例8、（ 2011理1 0文11）行列式 （a,b ,c,4 e{— 1,1,2}）的所有可能值中，最大的c d是.答案：6试一试：1、用行列式表示sin a cos p + cos a sin p =.一 、 sin a -sin B答案：cos a cos 02、 若复数z = x + yi（ x ,y € R ）满 足j ；的模等于x ,则 复 数z对应的点Z（ x ,y ）的轨迹方程为__________ . 其图形为__________ .答案：/ = 2（ x - ^ ） 抛物线知识点6：二元线性方程组解的判定例9、 判断m取什么值时，下 列 关 于 的 线 性 方 程 组（ 1）有唯一解？（ 2）无解？（ 3）有无穷解？%_（加2 -5 ） y = -1（ 加+1） %一（ 加+ 1） ' = 1答案：D= ( " 5 ) = ( / + D(%+2)(机—3)m+\ — (/n + 1)2-1 -(m2-5)D = ' ； =2(m-l)(/7i + 2)1 一 (6 + 1)21 -1。
= =m+2> m + \ 1( 1 )加工一1,一2,3时，方程组有唯一解；( 2 )加=-1或3方程组无解；( 3 )加= -2方程组有无穷解.试一试:x + 2y — 31 x -y = \用行列式解一元二次方程组4Dv ।答案：D =1 2= -5， D =3 2二- 5, D =1 3= - 5所以，x = ^ - = \D2 -1X1 -1y2 1D、y = - - = 11D 高中数学冲刺培优2、若关于x, y的二元一次方程组，mx + y - m + \ ,1冲= 2〃 ， 无解’则答案：- 13、 关于x、y的 二 元 一 次 方 程 组I yn-x + ）V = — 1' 的系数行列式0 = 0, 是该方程组有解的（ ）\3 nix -my = 2m + 3 ,A . 充分非必要条件C .充分且必要条件答案：D知识点7 ：三阶行列式的计算例1 0 ：按要求计算下列行列式3（ 1 ）直接化简计算行列式D= 12（ 2 ）按照第一行展开；（ 3 ）按照第一列展开.3.必要非充分条件. . 既非充分也非必要条件- 2 40 一 1的值;1 4答案：（ 1 ） 0 = 1 90 - 1 14 2- 1 1+ 44 2010 - 1 - 2( 3 ) 0 = 3 —11 4 14 - 2+ 24 04- 1试一试:21 ＞已知是A A B C的三边长，且满足“b2 2b c =0,则A 4 B C一 定 是 (c a)A .等腰非等边三角形 B.等边三角形答案：BC .直角三角形D .等腰直角三角形ax例1 1、设行列式D = 221 30 1中 第3行 第2列的代数余子式记作y ,函数4 -3y = f（ x）的反函数图像经过点（ 2 , 1 ） ,则a = _答案：4例1 2、将bd+ 23c+ 33b用三阶行列式表示，可得d10 1 - 2 3答案：a b c3 d e例 131 1 1( 1 ) 证明 X x2 % 3 = (x2 - X| )(x3 - X2)(x3 - X1)；2 2 2国 X2 X31 2 4( 2)方 程 1 X f = 0的解集为1 - 3 91 2 3( 3 )利 用 ( 1 ) 的规律，求函数y = 尤4 9的最小值.%2 8 2 7答案：（ 1） 按第一行展开可得左边= x2（ - r32 - - v ,2） + ^22（ - ^ 1 - - v3） + （ % i - ）= （ 玉一工） [一々（ 玉 + %3） + %22 + %&]= ( % -/ ) ( 再 一 % ) ( 毛 一% 2)= （ Z 一再） （ 电 一 % ） （ 七一% 2） = 右边⑵{ - 3 , 2}（ 3 ）） ^ = 6 r- 3 0x+ 3 6 ,当了= | •时，乂僦= 一二知识点8 ：三阶行列式的应用——三角形的面积例 14 ： （ 1）求证：三角形的面积公式毛玉 > ' i 1（ 2）求证：平行四边形的面积4 y2 1七为 1注：三点（ X2,y2） ,（ 七, 力） 逆时针排列否则面积是上述行列式的绝对值。
试一试：1、在平面直角坐标系x O y 中，以向量 如 生 ） 6 =（ 伪也） 为邻边的平行四边形的面积为 高中数学冲刺培优0 011解 析 ：不 妨 说 向 量 都 是 以 原 点 为 起 点 ，则b2 1a} a24瓦= a}b2 - a2h],因为不知道（ 0, 0） , （ 4 , 4 ） ,鱼 也 ） 的排列顺序， 所以平行四边形的面积为| “打一生用・2、 已知 A ( 0, 0) , 8 ( l , 2) , C ( 3 , 5 ) ,则 S . c答 案 ： -2茴课堂练习@1、己知矩阵4 =' 3 ( ) 、、 -2 L， - 2 rJ2 ,,求 矩 阵X,使 其 满 足2 A-3 X = 3 .答案:8 」3 -3- 2 02、方 程 组 工3.关 于z的方程i 0- 1 11- i 0的解是.= l + 2i （ j是虚数单位） 的解是z =答 案 ： -54 .— I5,矩 阵8 =答案： ＜、x = 3g’ 2「1r53\7二3Z4、请 根 据 “ 剪 刀 、石 头 、布 ”的游戏规则，作 出 一 个3阶方阵表示甲乙两人玩游戏时，甲胜利的情 形 （ 胜 用1表 示 ，输 用-1表 示 ，相 同 则 为0 ）。
答案:0 - 1 11 0 - 1- 1 1 0712 ’ 1 2 3 …几 一 2 n -12 3 4 • • n — 1 n 15 （ 2010理 10文 12）在" 行〃列矩阵3 4 5 ••• n 1 2中，记位于第i 行第71 2 …n — 3 n-2 〃- 1,列的数为 ai j ( Z J = 1, 2,当" = 9 时，+ /2 + &3 …+ 々 9 9 =答案：4 5 。
