必修1教案3.2.4函数模型的应用实例二.doc

精心整理 函数模型的应用实例〔二〕〔一〕教学目标1．学问与技能驾驭应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简洁的实际应用问题的实力.2．过程与方法经验实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数学问解决实际问题.3．情感、看法与价值观了解数学学问来源于生活，又效劳于实际，从而造就学生的数学应用意识，提高学生学习数学的爱好.〔二〕教学重点与难点重点：指数函数模型、拟合函数模型的应用难点：依据题设情境，建立函数模型.〔三〕教学方法师生合作探究解题方法，总结解题规律.教师启发诱导，学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型，似合函数模型解决实际问题的技能.〔四〕教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定本钱为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789日均销售量/桶480440400360销售单价/元101112日均销售量/桶320280240请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？师生合作回忆一元一次函数，一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检”生：尝试解答例1解：依据表，销售单价每增加1元，日均销售量就削减40桶.设在进价根底上增加x元后，日均销售利润为y 元，而在此状况下的日均销售量就为480–40(x–1)=520–40x(桶) 由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得y=(520–40x)x–200 = –40x2+520x–200，0＜x＜13易知，当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.师：协助课本剖析解答过程，回忆反思上节课的学习成果以旧引新激发爱好，再现应用技能.应用举例4．指数型函数模型的应用例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.相识人口数量的改变规律，可以为有效限制人口增长供应依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：年份19501951195219531954人数/万人5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数/万人6145662828645636599467207〔1〕假设以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率〔准确到0.0001〕，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的详细人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；〔2〕假设按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口到达13亿？例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05〔1〕依据表供应的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比拟近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.〔2〕假设体重超过一样身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？例2 解答：〔1〕以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.依据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.假设取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.将确定数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发觉，这个函数模型与确定数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.〔2〕将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖.归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的根本过程：师：形如y=bacx函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例许多〔如例1〕生：在教师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例师生合作总结解答思路及题型特征师生：共同完成例1 解答：〔1〕设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y0=55196，那么我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.依据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t (t∈N)的图象由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据根本吻合.〔2〕将y=代入y=55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76.所以，假设按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年〔即1989年〕我国的人口就已到达13亿.由此可以看到，假设不实行打算生育，而是让人口自然增长，今日我国将面临难以承受的人口压力.通过实例求解，提炼方法整合思路提升实力.稳固练习练习1确定1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.〔1〕用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？〔2〕事实上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有到达72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？解答：〔1〕确定人口模型为y = y0en，其中y0表示t = 0时的人口数，r表示人口的年增长率.假设按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y = 5e0.003t.当y = 10时，解得t≈231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.〔2〕由此看出，此模型不太相宜估计跨度时间特别大的人口增长状况.固化实力强化技巧应用举例4．拟合函数模型例3 某皮鞋厂从今年1月份起先投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新奇，前几个月的销售状况良好.为了推销员在推销产品时，承受定单不至于过多或过少，须要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产娴熟和理顺了生产流程.厂里也短暂不打算增加设备和工人.假设你是厂长，就月份x，产量y 给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？归纳总结：所以y= –0.8×0.54+1.4=1.35此题是对数据进展函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必需借助计算机进展数据处理，函数模型的牢靠性与合理性既须要数据检验，又必需与详细实际结合起来.生：动手实践解题此例学生四个代表分别板书四种函数模型.师：点评学生解答，总结，答复下列问题解析：此题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的改变状况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C (3，1.3)，D(4，1.37).〔1〕设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有所以得y = 0.1x + 1.〔2〕设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有所以y= –0.05x2+0.35x+0.7.〔3〕设，将A，B两点的坐标代入，有所以〔4〕设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得 用已学函数模型综合求解问题，提升综合应用模型的实力.稳固练习练习2 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预料以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？学生口述解题思路教师借助电脑解答问题〔1〕列表〔2〕画散点图.〔3〕确定函数模型.甲：y1= –x2 +12x+41，乙：y2 = –52.07×0.778x + 92.5〔4〕做出函数图象进展比拟.计算x = 6时，y1 = 77，y2 = 80.9.可见，乙选择的模型较好.固化解题技巧归纳总结1．数学模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进展抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学构造.数学模型剔除了事物中一切与探究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下探究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得简洁进展，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，那么表达了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.2．关于数学建模中的假设就一般的数学建模来说，是离不开假设的，假设在问题的原始状态下不作任何假设，将全部的改变因素全部考虑进去，对于稍困难一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表此时此刻以下几个方面：〔1〕进一步明确模型中须要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素特别多，经细致分析筛查，发觉有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，解除这些因素，问题那么更加清楚明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.〔2〕降低解题难度.由于每一个解题者的实力不同，经过适当的假设就可以有实力建立数学模型，并且得到相应的解.一般状况下，是先在最简洁的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，得到更满足的解.师生合作沟通归纳学问，整合解题体会整合理论造就学习实力课后练习3.2 第四课时 习案学生独立完成固化学问提高实力。