中考数学重02规律探究问题（解析版）.pdf

重难点0 2 规律探究型问题【 命题趋势】规律探究型问题是中考数学中的常考问题， 题目数量一般是一个题， 各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性探索规律题可以说是每年中考的必考题，预 计2020年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的 满分技巧】一 . 从 简 单 的 情 况 入 手 ：从简单的情况入手： 求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案 二 . 新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识：--关注问题中的不变量和变量：在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（ 也就是常量） ，我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（ 一般 为n ）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在.三. 掌握一些数学思想方法规律探索型问题是指在一定条件下， 探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题,它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律. 它体现了“ 特殊到一般” 的数学思想方法， 考察了学生的分析、 解决问题能力， 观察、 联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力. 题型可涉及填空、选择或解答.【 限时检测】（ 建议用时：3（ ）分钟）一、选择题1. （ 2019贵州省毕节地区） 下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90。

得到，第2019个图案中箭头的指向是（ ）(D G Q © 0 GA . 上方 B . 右方 C . 下方 D . 左方【 答案】C【 解析】如图所示：每旋转4 次一周，2019+4=504...3,则第2019个图案中箭头的指向与第3 个图案方向一致，箭头的指向是下方.故选：C.2. （ 2019河北省） 对于题目：“ 如 图 1 , 平面上，正方形内有一长为12、宽为6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（ 即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的 最 小 整 数 〃 甲 、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x , 再取最小整数〃.甲：如图2 , 思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取〃 =13.乙：如图3 , 思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取〃= 14.丙：如图4 , 思路是当x 为矩形的长与宽之和的返倍时就可移转过去；结果取〃= 13.A . 甲的思路错，他的〃值对B . 乙的思路和他的〃值都对C . 甲和丙的〃值都对D . 甲、乙的思路都错，而丙的思路对【 答案】B【 解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应 为n= 14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故 选 :B.3. （ 2019湖北省鄂州市） 如图，在平面直角坐标系中，点4、4、& …4在x轴上， Bi、%、在直线上,若Ai （ 1, 0） ,且△4 8 0 2、△ A282A3…△ A“8”A“+|都是等边三角形，从左到3右的小三角形（ 阴影部分）的面积分别记为$、$2、s3...sn. 则s ,可表示为（ ）A. 22,,A/3 B. M C. 22,,-2A/3 D. 22n-3V3【 答案】D【 解析】△ A2B2A3...A A„B„An+i 都是等边三角形，• • A.\B\ // 从 之 良 〃 I/,..// 32A3〃 33A4〃 …〃 3nA〃 +△ A[5]42、 △ A252A3 …△ AnBltAn+ \都是等边三角形，・ ・ •直线y = 返 : 与x轴的成角N8]OAi = 30。

，NO41Bi = 120 ，3，N O 5i4= 30 ,* * * OA\ =A\B\,VAi (1, 0),同理N 82A2 = 3 0 °,…，NOB,A ,=30°,：.B2A2^O A2=2, 5 3 3 = 4 ,…，& 4 = 2 "T ,易得/ O 8IA2=90°......... NOB,A,+|=90°,/. B\Bi= ^ 3 , B [B 3 = 2 j^ ,…, B"B,i*\=2".•.S| = L x l x « = 2 ^ , S 2 = LX2X2b= 2 痣. . . . S ,= -1X2 "TX2 " C = 22n故选：D.4. （ 2019湖南省娄底市） 如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2 米，圆心角为120 的AB多次复制并首尾连接而成. 现有一点P 从 4 A 为坐标原点）出发，以每秒2 万米3的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点尸的纵坐标为（ ）A. -2 B. -1 C. 0 D. 1【 答案】B【 解析】点运动一个AB用时为上S+ 2 万= 2 秒.180 3如图，作 COLAB于 。

与 A 8交于点E.在 RtAACD 中， ZADC = 90° . ZACD = - ZACB = 60°，2.-.ZCAD = 30° ,CD = — AC= —x 2 = 1 ,2 2DE = CE-CD = 2 -\ = \ ,.•. 第1秒时点尸运动到点E ,纵坐标为1；第 2秒时点P运动到点B,纵坐标为（ ） ；第 3秒时点P运动到点尸，纵坐标为- 1；第 4秒时点P运动到点G ,纵坐标为0 ；第 5秒时点P运动到点H ,纵坐标为1 ；.•. 点尸的纵坐标以I , 0 , - 1, 0四个数为一个周期依次循环,2 0 19 + 4 = 5 0 4 …3 ,.•, 第2 0 19 秒时点P的纵坐标为是- 1 .故选：B .5 . （ 2 0 19 湖南省张家界市） 如图， 在平面直角坐标系中， 将边长为1 的正方形O 4 B C 绕点顺时针旋转4 5 后得到正方形0 4 8 i G，依此方式， 绕 点 连续旋转2 0 19 次得到正方形O42019B2019C2019，那 么 点 的 坐 标 是 （ ）A.（ 迪， -返） B . （ 1, 0 ） C.（-返， -返）D . （ 0 , - 1）2 2 2 2【 答案】A【 解析】• • •四边形0 A 8 C 是正方形，且 O A = 1,. , A （ 0 , 1） ,• . •将正方形O A 8 c 绕 点 。

逆时针旋转4 5 后得到正方形O A | 8 | G ，（ 返，返） ，A , （ 1, 0 ） , 4 （ 返， -返） . . . .2 2 2 2发现是8次一循环，所以2 0 19 + 8 = 2 5 2 …余 3 ,. , . 点4 2 0 19 的坐标为（ .2, 一 勺 2）2 2故 选 : A .6 . （ 2 0 19 山东省荷泽市） 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“ 向上一向右一向下一向右” 的方向依次不断移动， 每次移动1个单位长度， 其移动路线如图所示，第一次移动到点A ” 第二次移动到点4……第〃次移动到点A ” 则点A2（M9的坐标是（ ）A . ( 10 10 , 0 ) B . ( 10 10 , 1) C . ( 10 0 9 , 0 ) D . ( 10 0 9 , 1)【 答案】C【 解析】Ai ( 0 , 1) , A2 ( 1, 1) , A3 ( 1, 0 ) , A4 ( 2 . 0 ) , 4 ( 2 , 1) , A6 ( 3 , 1) ,2 0 19 + 4 = 5 0 4 …3 ,所以A z o © 的坐标为( 5 0 4 x 2 + 1, 0 ) ,则 4 2 0 19 的坐标是( 10 0 9 , 0 ) .故选：C .7. ( 2 0 19 云南省) 按一定规律排列的单项式： 3 - 丁， y , _ % .... 第 〃个单项式是( )A . ( - 1) T-C . ( - 1) n lx2,1+l【 答案】A【 解析】V?= ( - 1)- d= (- D 2-产 + 1 ,X7= (7) 37 /3+1,-X9= ( -1) 4 Tx 2*4 +1,? ' = ( - 1) 5 产 + 1 ,B . ( - 1) " 0 7D . ( - 1) nx2 n+'由上可知，第〃个单项式是：（- 1） n lx2,,+l,故选：A .8 . （ 2019 四川省广元市） 如图，过点A 。

0, 1）作 y 轴的垂线交直线/：产作直线/的垂线，交 y轴于点A 2 , 过点A 2作 ） ， 轴的垂线交直线/于点A ,到△ AQA |A 2 , △ A 2A M 4 , △ A 4 A $4 6 ，…，其面积分别记为 S1，Si，S3,…,亚•尤于点A 1 , 过点A 13…，这样依次下去，得则 Sio o 为 （ ）【 答案】D3V3><2395【 解析】• ・•点A o 的坐标是（ 0, 1） ,・ ・ ・OAo=1,・ ・ ,点4 在直线y = 返 工 上，3**• 0A1= 2 > A(A = ，，042=4,・ ・ ・0 4 = 8 ,・ •・ 04=16,得出 OA”=2",• • A4 + 1=2"・ V3»O A 1 9 8 = 2 ' " \ ^198>4|99 = 2, 9 ，S* ^ / 3 ，V S! = 1 (4 -1 ) •遂 =Wy,22「A 2 A l // 4 200^ 19 9 ，•*• △A(AA2 s △ 4 ] 9 8 A l 9 9 A 20( )，• ^100 _ ( 2198 ,7 3 2Si V3...s = 2396. 3 M = 3 ^ / 3 x 23 9 52故 选 : D.9. (2019 河南省)如图，在AOAB 中，顶点 0 (0 , 0), A ( - 3, 4), B (3, 4 ) , 将A OAB 与正方形 ABC。

组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转90 ，则第70次旋转结束时，点 的坐标为)A . ( 10, 3) B . ( -3， 10) C . ( 10, - 3) D. ( 3, - 10)【 答案】D【 解析】V A ( -3, 4 ), B ( 3, 4 ),， A 3= 3+3= 6 ,♦ ・♦ 四边形4 8 c o为正方形，.\AD=AB=6,： .D ( -3, 10),•••7 0= 4 x 17 +2,每4次一个循环，第7 0次旋转结束时，相当于△ 0A 8与正方形A 8 C D组成的图形绕点顺时针旋转2次，每次旋转9 0 ，. •.点的坐标为( 3, - 10).故选：D .10. ( 2019内蒙古赤峰市)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为( )A. 2289【 答案】c22018D- ^ 2 0【 解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开,第一次：余下面积2第二次：余下面积s 金，z 22第三次：余下面积以 占，,23当完成第2019 次操作时，余下纸片的面积为S 2 oi 9=— L-故选：C .二、填空题11.（ 2019 山东省泰安市） 在平面直角坐标系中，直线/： y = x +l 与 y 轴交于点A” 如图所示，依次作正方形O A B 1 G ，正方形G A 232c 2,正方形C 2A 3B 3C 3,正方形C 3A 4 &C 4 .....，点4 ” a , A 3,A4.....在直线/上，点 G，C2, C 3, C4...... 在 x轴正半轴上，则前〃个正方形对角线长的和是.【 答案】V 2 ( 2n - 1)【 解析】由题意可得，点 4 的坐标为（ 0, I ） ,点人2的坐标为（ 1,2） ,点 小 的坐标为（ 3, 4 ） ,点 A ,的坐标为（ 7 , 8 ） ,....* * • O A1= 1» G A 2 = 2 , 。

24 3= 4 , / 4 = 8 , ....,前〃个正方形对角线长的和是：M（ O 4 + C A + C 2 A 3 + C & + …+C “ 4 ） = V2 （ 1+2+4 +8 +...+2"设 S= l +2+4 +8 +...+2" T,则 2s = 2+4 +8 +...+2" 7 +2" ,则 25 - S=2n - 1,： .S=2 "- 1,...l +2+4 +8 +—+2" T= 2" -l ,前〃个正方形对角线长的和是：& x （ 2" - 1 ） ,故答案为：血（ 2" -1） ,12. （ 2019 山东省潍坊市） 如图所示，在平面直角坐标系x o y 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ,它们的半径分别为1, 2, 3 , …，按照“ 加 1 1” 依次递增；一组平行线，/o ,八 ，加 出 …都与x轴垂直，相邻两直线的间距为I,其 中 /o 与 y轴重合若半径为2 的圆与1｛在第一象限内交于点2,半径为3 的圆与， 2在第一象限内交于点尸2,…，半径为〃+ 1 的圆与/ “ 在第一象限内交于点尸 “ ，则点的坐标为. （ 〃为正整数）【 答案】（ n ,同I ）【 解析】连 接 。

P l ，0P2, 尸 3，/| 、1 2 、A与 X 轴分别交于4、4、4，如图所示：在 RtA O A f i 中，04 | = 1, 0 尸| = 2,' A/ 产 加［ 2_叫2= ^22-I2= V 3>同理：4尸 2= 4 3尸 3= { 42 _§2 = 用, .....，P | 的坐标为（I , 遂 ） ，& 的坐标为（2 , 遥 ） ，匕的坐标为（ 3 , V 7） . . . . ..…按照此规律可得点P ” 的坐标是（ " ，V （ n + 1 ）2- n2） ,即 （ " ’）故答案为：（ " ，的币） .1 3 . （ 2 0 1 9 浙江省衢州市） 如图，由两个长为2,宽 为 1 的长方形组成“ 7 ” 字图形 1 ）将一个" 7 ” 字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“ 7 ” 字 图 形 A B C D E F , 其中顶点A位于x轴上，顶点B , D位于y 轴上，O为坐标原点，则 器 的值为 .（ 2 ）在 （ 1 ）的基础上，继续摆放第二个“ 7 ” 字图形得顶点R,摆放第三个“ 7 ” 字图形得顶点F 2 ,依此类推，…，摆放第。

个“ 7 ” 字图形得顶点F , 河 , .ya心【 答案】（ 1 ） - （ 2 ）（6 5 « 4 0 5 6）2 5【 解析】（ 1 ） 依题意可得, C D = 1 , C B = 2则顶点F 2 0 I9 的坐标为_ _ _ _ _T'UVZ B D C + Z D B C = 9 0 ° , Z O B A + Z D B C = 9 0 °，ZBDC=ZOBAXZDCB=ZBOA=90°ADCB s A BOA. DC OB 1"C B "O A 'i根据题意标好字母，如图所示上 八 、-D C OB 1 .… 亚 c * 2A/5由 ⑴ 知 C B PA -2 ） •-0 B~ 5， °A - 5易得△ OAB s △ GFA s A HCB.,.B H = ^ , 协=乎，A G = ^ , F G = ^...OH挈+ 乎f , OG邛+ 平鹏.'.C （ ^ 5 ^ ，小） .F （ 小，）由点C 到点F 横 坐 标 增 加 了 芈 ，纵坐标增加了半，，F”（ 小 + 乎 n ,陪 + 乎 n）F 2 0 1 9 + 邛 ^ X20I 9,+ 坐 x 2 O I9 ）即 F 2 0 1 9 （ 效呼， 4 0 5 小）1 4 . （ 2 0 1 9 广西玉林市） 如图，在矩形A B C O 中，A 8 = 8 , BC = 4, 一发光电子开始置于AB边的点 P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着P R 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于4 5 。

，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过 2 0 1 9 次后，则它与45边 的 碰 撞 次 数 是 .【 答案】6 7 2【 解析】如图,根据图形可以得到：每 6次反弹为一个循环组依次循环，经 过 6次反弹后动点回到出发点（ 6 , 0 ） ,且每次循环它与4 3 边的碰撞有2次，2 0 1 9 + 6 = 3 3 6 …3 ,当点尸第2 0 1 9 次碰到矩形的边时为第3 3 7 个循环组的第3次反弹，点 P的坐标为（ 6 , 4 ）, 它 与A B边的碰撞次数是= 3 3 6 x 2 = 6 7 2 次，故答案为6 7 21 5 . （ 2 0 1 9 四川省攀枝花市） 正方形A4G4 , A2B2C2A3 , A 4 c 3 A 4 ，…按如图所示的方式放置，点 4，4，A ，…和点耳，与 ，员，…分别在直线y = A x + b（ k > 0 ） 和 x 轴上. 已知点A（ 』） ，点 4（ i , o ） ,则 G的 坐 标 是 .Bz B【 答案】(47,16)【 解析】由题意可知4 纵坐标为1，4 的纵坐标为2, A,的纵坐标为4, 4 的纵坐标为8 , … ,A 和G , 4 和 G , A 和 c ,, 4 和 c4的纵坐标相同,:c，C2 , C3, C4 , C5 的纵坐标分别为 1, 2, 4, 8, 1 6 ,...根据图象得出 G (2,l), G (5,2)，C3(ll,4),直线G G 的解析式为y = g x + g ，4 的纵坐标为16,:.C5的纵坐标为16,把 y = 16代入y = L + g, 解得x = 47,・ •.G 的坐标是(47,16),故答案为(47,16).B\ Bi B 3三' 解答题1 6 . （ 2 0 1 9 山东省威海市）（ 1 ）阅读理解如图，点 A , 8在反比例函数） ， = ▲ 的图象上，连接A 8 , 取线段4B的中点C.分别过点A , C,X8作 x轴的垂线，垂足为E , F, G, CF交反比例函数） = 上 的 图 象 于 点 D.点 E, F, G的横坐X标分别为〃- 1 , 〃 + 1 （ n > 1 ） .小红通过观察反比例函数y=工的图象，并运用几何知识得出结论：XAE+BG=2 CF, C F > D F由此得出一个关于」一 ，」一 ，2 ,之间数量关系的命题：n-l n+1 n若则.（ 2 ）证明命题小东认为：可以通过“ 若招0,则 〃沙” 的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“ 若 〃> 0 , b > 0 ,且右处1 , 则壮6 ” 的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明（ 1 ）中的命题.【 解析】（ 1 ）' ： AE+BG=2 CF, CF>DF, A E = A, B G = 1 , DF=1n-l n+1 nn~l n+1 n故答案为：J _ + J _ > 2.n-l n+1 n9 9 9(2 )方法 一 ., , 1/ 1 _ 2 = n +n +n - n - 2 n +2 =2,n - 1 n +1 n n (n - l ) (n +1 ) n (n - l ) (n +1 )V^ > 1 ,n (n - 1) (n+1) >0,2> 0 .n ~ l n +1 nn ~ l n +1 n2方法二：:n-1 】i+l. = n> ] ,2 n2- lnn - l n +1 n17. (2019山东省威海市)(1) 方法选择如图①，四边形ABC。

是的内接四边形， 连接AC, BD, A B = B C = A C .求证：BD=AD+CD.小颖认为可用截长法证明：在 上 截 取 M = A 3 ,连接AM...小军认为可用补短法证明：延长CD至点M 使得 N=AD..请你选择一种方法证明.( 2 ) 类比探究探 究 1如图②，四边形ABCD是的内接四边形，连接AC, BD, BC是的直径，A B = A C .试用等式表示线段A£>, BD, CO之间的数量关系，井证明你的结论.探究2如图③，四边形A8CO是的内接四边形， 连接AC, B D .若 3 c 是的直径，NA8C=30 ,则线段ABD, CD之间的等量关系式是（3）拓展猜想如图④，四边形4BCD是的内接四边形，连接AC, B D .若 BC是的直径，BC： AC： AB= a： b： c , 则线段ABD, CO之间的等量关系式是【 解析】（1）方法选择：'：AB=BC=AC,：. /ACB=NA3C=60 ，如图①，在 8上截取DEM4连接4例 ,VZADB=ZACB=60°,...△A " 是等边一角形，：.AM=AD,,：ZABM^ZACD,ZAMB= ZADC= \20°,：.(AAS),BM=CD,：.BD=BM+DM= CD+AD；( 2 ) 类比探究：如图②，是。

的直径，：.ZBAC^90°,\*AB=ACf：.乙钻C=N4C3=45 ，过A作AM.LAD交8于M,ZADB=ZACB=45%• ••△AZ)历是等腰直角三角形，：.AM=AD. NAM及=45 ，. , •拉M =&AO,・ ・ ・ NAM8=NADC=135 ，■ : ZABM=ZACD,J./XABM^/^ACD (A4S),:.BM=CD,：.BD=BM+DM=CD+ & A探究2如图③，; 若BC是的直径，乙48c=30 ,：.ZBAC=90°f ZACB=60°f过4作AM1.AD交BD于M,・ ・• ZADB=ZACB=60°f：. ZAA/D=30°,：.MD=2AD,V ZABD=ZACD, ZAMB= ZADC=150°,：.△ABMs/viCO,. • ・迪 山 = « ,C D A C：.BM = 4ZCD,：.BD=BM +DM =aCD+2AD；故答案为：BD= «C D +2AD；(3 )拓展猜想：BD=BM +DM =2 8 +且AD；b b理由：如图④，：若3 c是(D O的直径，.•./8 4C = 9 0 ，过A作A M LA D交B D于M,：.ZM AD^90°,：.ZBAM =ZD AC ,：.△ABMs/\AC£>,• B M = A B = c"C D ^ A C b "：.BM =^-CD,bV ZADB=ZACB, ZBAC= ZNAD=90°,：./\AD M ^/^AC B,• A D= A C=_ b" D M B C a "； .OM= J .A D ,bBD=BM+DM= £CO+ ^A D .b b故答案为：BD^^-CD+^.ADb bD1 8 . （ 2 0 1 9湖南省永州市）（ 1 ）如 图 1 , 在平行四边形A 8 C 。

中，ZA = 3 0 ° , AB = 6, A O = 8,将平行四边形A 3 C 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽 .（ 保留分割线的痕迹）（ 2 ）若将一边长为1的正方形按如图2 - 1 所示剪开，恰好能拼成如图2 - 2 所示的矩形，则根的值是多少？（ 3 ）四边形48 C 是一个长为7,宽为5 的 矩 形 （ 面积为3 5） ,若把它按如图3 - 1 所示的方式剪开， 分成四部分， 重新拼成如图3 - 2 所示的图形， 得到一个长为9, 宽为4 的矩形（ 面积为3 6 ） .问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由.【 解析】（ 1 ）如图所示:（ 2 ）依题意有1 _ \ - m1 +inm解 得 叫 =-1 +占-1 -^5f=2 q 2（ 负值舍去） ,经检验，叫 =三 叵 是 原方程的解.故 ”的值是乎(3)7 3------ 0 —7 + 2 4，直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上,故重新拼成的图形的面积会增加.。