平面几何中几个重要定理在中考中的应用.doc

平面几何中的几个重要定理在中考中的应用一、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：若四边形ABCD内接于圆，则有：一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出 喜帕恰斯依巴谷古希腊最伟大的天文学家他编制出1022颗恒星的位置一览表，首次以“星等”来区分星星.二、梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边BC、CA、AB或其延长线交于D、E、F点，那么 .这条直线叫做的梅氏线，叫梅氏三角形.梅涅劳斯定理逆定理：如果D、E、F分别是的三边BC、CA、AB或其延长线的三点，且满足，那么D、E、F三点共线. 梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的三、塞瓦定理：若△ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于D、E、F，则.通常称点P为△ABC的塞瓦点.塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现 塞瓦定理逆定理：如果点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB上或其延长线上，并且，那么AD、BE、CF相交于一点（或互相平行）. 四、斯特瓦尔特定理：若P为△ABC的BC边上B、C之间一点，则有.或托勒密定理【例 1】 设P为正方形ABCD的外接圆的弧AD上的一点，则为定值.【例 2】 等腰梯形一条对角线的平方，等于一腰的平方加上两底之积.已知：在梯形ABCD中，AD=BC，AB//CD.求证：.【例 3】 已知.求证：.【例 4】 如图，在△ABC中，的平分线交外接圆于D，连接BD.求证：ADBC=BD(AB+AC). 梅涅劳斯定理恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键，其逆定理常用于证明点共线，应用很广泛。

解决比较复杂的问题时注意塞瓦定理与梅涅劳斯定理联用例 5】 如图，直线∥，AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则AE:EC是（ ）.A.5:2 B.4:1 C.2:1 D.3:2【例 6】 如图，△ABC中，AB=5，BC=8，BD=BE，AF=2FC，BF交DE于P.求DP:PE. 【例 7】 （2001山东初中竞赛）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F.若AB=，AD=，BE=.求BF的长. 塞瓦定理【例 8】 如图，在△ABC中,AM是BC边上的中线，BD为的平分线，AM和BD交于点E，CE的延长线交AB于F，FN//AC，交BC于N.求证：BF=NC. 【例 9】 在梯形ABCD中，AB//CD，AC、BD交于E，AD、BC的延长线交于H，过E作FG//AB交AD于F，交BC于G.求证：AG、BF、EH三线共点. 斯特瓦尔特定理【例 10】 (1990全国初中联赛)△ABC中，AB=，AC=,BG=2，P为BC上任一点，则（ ）. A. B. C. D. 的大小关系不能确定【例 11】 如图，△ABC中，AB=AC，E为AB中点，在AB延长线上有一点D使BD=BA.求证：CD=2CE. 。