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公差带分析基础上的理论公差叠加分析E. E.林和H.-C.张德克萨斯理工大学工业工程学系 拉伯克 德州 美国摘要 在本文中，在一维，二维，三维空间中，尺寸公差叠加和形位公差叠加都 是从理论上进行分析的在这项研究中的公差分析是建立在公差带分析的基础 上制造误差分为两种基本类型：定位误差和加工误差本文对公差叠加的一般 公式进行了探讨最后对一个三维几何公差叠层的仿真例子予以说明 关键词：尺寸；公式化；几何；公差叠加；公差带1. 介绍1. 1 本文研究目的本文的目的是如下：1. 公差叠加分析常被用于一维方向上的尺寸公差，由此产生的最终公差始终 是组件公差的总和 ［1］相对于几何公差，尺寸公差的分析和控制都比较完善 ［2］而几何公差叠加通常被忽略或被组件公差叠加所取代在本文中，尺寸公 差和几何公差在一维，二维，三维空间中的情况都将被考虑2•数值表示是尺寸和公差的特性［3］HB Voelcker预测在未来十年中在几 何形位公差领域的最重要进展之一将会是“一个或多个几何形位公差的公式化的 方法将产生，一个生成的公式化将比目前的方法更普遍但应包含当前特殊情况下 的尺寸链的描述这种公式化方法应该是在工科院校中传授，因为它会基于对基 本的数学原理的小部分的运用［4］。

本文对于生成的几何形位公差的公式化方法 做出贡献1. 2 公差叠加与误差叠加 公差是允许尺寸的变动量，它是最大极限尺寸和最小极限尺寸之差［5］误 差（的变化）是一个特征（几何元素，表面或线）偏离其基本尺寸或形状［6］， 因此公差是用于（标定，表达）对处理加工中的误差进行控制而叠加误差用于 处理虚拟变量，在本文中，公差叠加的分析是基于误差的叠加分析，公差叠加和 误差叠加的数学公式与公差变量和误差变量相吻合1. 3 公差独立性原则在误差和公差分析中，同时考虑尺寸公差和形位公差是复杂的国际标准委 员会ISO / TC10/SC5 “技术图纸，尺寸和公差”和ISO/TC3 “极限与配合”在 ISO8015 表示，独立原则是基本公差原则它的含义如下：“图样上给定的尺寸 公差与形位公差相互独立，除非有特别关系被指定如最大实体要求，最小实体要 求或包容要求本研究遵循公差独立原则1. 4 公差带蔡斯等人，考虑到在机械装配公差分析中的几何特征变化［7］，将公差带视 为特征变化的限制在这项研究中的公差分析建立在公差带分析的基础上， henzold讨论了各种公差带，这些公差带可归纳为典型的类型，如图1所示但）(b)01(c)h㈣图1•典型公差带.（a） —维，（b）二维，（c）三维公差带图 2. 公差带的投影关系公差带的大小通常是特征尺寸的 10-3到10-5，在下面的数据中，为了说明， 公差带被放大。

t表示公差值有三种典型的公差带：1. 一维公差带2. 二维公差带3. 三维公差带类型 1，类型2 和3的尺寸公差带参考几何公差带在直角坐标系，三维公 差带可以投射到二维公差带，二维公差带可以投射到到一维公差带，如图 2 所示 大多数的公差带都是三维的，然而公差链和公差分析通常都是在二维或一维的环 境中进行的1.5 制造误差的分类K. Whybrew 和 G. A. Britton 为以下加工中的八个项目归纳出二十七个加 工误差源［4］：机床、刀具、夹具、工件、冷却液、操作者、环境条件、过程变 量上述误差源的各个方面在精密制造过程中都值得具体研究，这些误差可以分 为两大类：一类是随机的、不可预测和无法控制的，另一类是固有的、随时间变 化或者能被控制的固有误差是代数相加，随机误差是算术相加，一个由此产生 的误差可以由下列公式(1)计算：△=芝ap + ：(逐(P3 )2)其中：△ : 合成误差a i(i=1,2,3.…..m):固有误差分量的权重0 i(i=1,2,3.…..m):固有误差分量P i(i=1,2,3.…..m):随机误差分量的权重0 i(i=1,2,3.…..m):随机误差分量。

p i的值取决于随机误差分量的分布状况和由此产生的误差的几何关系还 有许多工作需要建立公式的权重和误差分量然而，在这项研究中探索具体的定 位误差和加工误差来源是不必要的在这项研究中，所有类型的误差源进行分类根据自己的定位功能和部分 的加工功能的几何位置的影响因此，有两种类型误差，是直接关系到零件精度：1. 定位误差：实际基准特征对理想基准特征在位置上允许的变动量定位和夹紧 工件后已设置误差保持不变，除非工件从夹具中移除因此，在每一个设置之内 定位误差都是确定2. 加工误差：实际加工特征对理想加工特征在位置上允许的变化量加工误差是 随机误差定位误差和加工误差都是系统误差和随机误差的结果2. 尺寸公差叠加如图1 所示，尺寸的公差带是严格一维的，因此生成的的尺寸公差叠加是相对简单的假设在一个空间中，由此产生的尺寸与元件尺寸的关系如下：2)d = f (X1,…Xl，写 2,…ym，Z1, Z 2,…T其中：d: 合成尺寸Xj(i=l,2,3......1):组件在X坐标上的尺寸yi(i=1,2,3......1):组件在X坐标上的尺寸Zj(i=1,2,3......1):组件在X坐标上的尺寸从理论上说，在最坏的情况下：d △+吟/ △y+昨d 1d jd kij =11k =11k其中：△d:合成尺寸的变化量勺yj，zk：组件尺寸的变化量在数理统计的情况下：2 + 石 f Ay )2 +d jj=1 j 在下面的文本，只有最坏的情况下被处理，统计情况和最坏情况可以用来得 出在定性分析中的类似结论。

例如：在一个平面上的三个孔的三维关系如图 3 所示为简化分析水平尺寸被省 略i=1k=1 zk4)图 3. 一个平面上的三个孔的尺寸关系加工步骤和加工要求：第一步，将平面A作为加工基准面钻孔1,孔1到平面A的垂直尺寸是a第二步，将平面A和孔1作为基准钻孔2,孔2到平面A的垂直尺寸是b孔1 与孔2的连线与水平线之间的角度为0第三步，将平面A作为基准钻孔3,孔3到平面A的垂直尺寸是b'由此产生的尺寸为尺寸C和C'对于尺寸C'，它的尺寸链如图4所示：c'= b'-a (5)在最坏的情况下：Ac'=Aa +Ab'6)=Aa +Ab'C'的尺寸链是一维的，它也是尺寸链通常的状况在一维的状况下，可变的 公差叠加量独立于组件的尺寸值对于尺寸C,有一个如图5所示的尺寸链b-ac = —sin 0在最坏的情况下：dAa + 上 Ab +dA 1 A7Aa + Ab +-sin O sin O sin2OAc =AO de(b - a)cos O ao8)C 的尺寸链是二维的，从公式 (6)可以看出，二维公差叠加不仅独立于组件 的尺寸公差而且还独立于组件的基本尺寸尺寸公差叠加分析通常用公差图来表示对于回转体零件来说，每个工件的 单一图表都足以控制沿工件轴的公差，所以没有可能发生径向的公差叠加。

对于 棱柱形零件，为了控制公差叠加每个工件至少要给出两个尺寸和三个图表这些 图表在一般情况下是不独立的，因为一些表面的公差可能出现在多个图表中图 表通过共同的表面联系在一起［8］3. 形位公差叠加3.1 一维形位公差叠加分析 一维形位公差叠加分析应用于组件公差类型相同与基本尺寸不影响公差叠 加的情况作为一个例子；图表 6 给出了一个有五个相同平行槽的零件.平面 A B、C、D、E 分别被设置为加工平面 B、C、D、E、F 的基准平面，如图6 所示FEC1/製 M ■- I Tt,\ A |Design dtutlrmraraLIf] istti loleruniGc zone relative to face 扎Machining —. ftccOperational —、 datumA，'；I mi A |图 6 .一维形位公差叠加分析以下是用于公差叠加分析的表示法：r M = A, B, CM定位平面相对于理想垂直面的平行度,也称为定位误差A M = A, B, CM加工平面相对于理想垂直面的平行度,也称为加工误差T MN = A, B, CMN平面M与平面N的平行度10）（11）12)(•) (bj (c)在图6 中平行度公差叠加可以简述如下：t = r + aAB A BT = T +r + AAC AB B C=r +r +a +aABBCT =T +r +AAD AC C D=r +r +r +a +a +aABCBCDT =T +r +AAE AD D E=r +r +r +r +a +a +a +aABCDBCCET = T +r + AAF AE E Fr +「 +「 +「 +「 +A +A +A +A +A /A B C D E B C D E F （13）显然,在一维情况下,由此产生的公差始终是等于组件公差的总和。

编号几 何公差的情况的种类是有限的一维几何公差叠加的一些典型案例的公差带分布 图如图7所示图6情况属于图7中的（a）情况图 7 .一维公差叠加的公差带分布图在图6中的零件的加工方法是将平面A作为加工的基准面并且以同样的基准 加工平面A、B、C、D、E、F这中加工方法在数控机床中很常见在这种情况下，调刀基准、设计基准和定位基准是同一平面-A,因此没有误差叠加误（差关系如） 下：T =（r + A 丿，M = A, N = B, C, D, E, FMN M N （ 14）3.2 二维几何公差叠加分析图 8 显示出了平面 B 的公差带的二维视图图 8 .零件面 B 的二维公差叠带图 9 .平面 B 平移的影响从图8 可以看到，公差带表示出了零件的两个可能的最大变动量：大小为 亠的水平的平行移动和大小为e的转角假设平面b被作为加工基准面来加工 平面D和平面C并且平面B的误差带等于它的公差带平面D的误差通常认为 与平面 B 的平移变化量相等（如图 9 所示）：15)△ = △DB平面B的平移对平面C的误差没有影响，平面B的误差对平面C的影响通过转 角 e 来体现，如图 10 所示图 10. 面 B 转动的影响从图10 可知：16)tan ^cLL31L△ = — △C L B3然而，有两个问题：1. 在这里e是否是最大的旋转角度？2. 如果L3HL3'公式14是否仍然正确？对于第一个问题答案是否定的。

一个实际的特征可能大于或者小于转角e此外, 在实际的定位和夹紧过程中，其他定位平面和夹紧面都可能影响旋转角度然于 对于理论分析，e可以充分表示旋转角度的平均值对于第二个问题，如果L3HL3',公式14应该改为：L'△△18 )cLB3也就是说，它也受到旋转角度 e 的影响由于受到除主基准平面 9 以外的 其他定位平面和夹紧面的限制［9］，对于在同一坐标系方向上的两平面来说，平 移是起主导作用的而不是旋转因此，当L3HL3',公式(14)仍是大致正确的 3. 3 三维几何公差叠加分析对于三维几何。