构建图形巧解题——例说数形结合在求解最值中的应用.pdf

DANG DAI JIAO YAN LUN CONG 数学，理科天地 构建图形巧解题 ——例说数形结合在求解最值中的应用 江苏省启东市汇龙中学 朱玉华 在求解数学问题时，根据数学试题的背景以及表达式 的形式特征思考其可能的几何属性，构造成为一个几何问 题，从而借助于几何知识求解，并且使得问题得到最终解 决，这就是数形结合解题的基本思想下面结合具体的例 题，浅谈数形结合在求解最值中的应用 f、 ，钏 倒l已知点职∞的坐标满足扛一 +2，o，剜 o I拉1《0 分析}_点 薯E 目哆自爿 j豢 }{ 一国+2争下，，高照示的 IJ， 0 可行域超 个三角形要=求彝 的取催 程围，由 表达式的形式特征观察廊联恕剜距离、模等知识， 商 醯 羽联想鞠直统方；曝或两向量的数置袈，从而可 毒鹰平面向量曲章嗵誊 武将_；肇 转化蔓倜向 、 、? ．量的夹角的余弦，男_锴台母形使阉题得到解决 籼 蜥 由鼹 喉 ， y ● ●，， nl-．r ’■ 一广 倒2设I．~,zeR．且虢足： +，+ 叠1． + + I ， ．对．r+，+j=一(加年全国蔼筘学蔼 七13题) 分析：由条件Il+ +2-t和z+ +3z． ．可以看作两 个方程三 ，在—般慵 是无法求解三个元素的值 的。

如果考虐辫i，+，+ ．1就是 1．并且将它与 空间I盎}● 螂系 }-起． I基弼 + +jz厨蕊 补 向量 诩租l 的努嚏积，结合向量知识，问题吐 c司似 J|E稠得撇 解析：设向量宣； ，，|》，占=(1'2 ， ^-‘二：J+2r+3l|=、／l4， 一：1 IAI --~14， a I I 其中一为向量置- 鲸夹角，． 猫一 ．‘向量a，五方向相同，--．， 2v 代人H +3z． 得，． ．．_． +y+z- 例3已知函数，(x)= 一 二 ，则萁最 大值为 分析：要求两个=次根式的差晦最大值如果仅用代数 的方{去求勰显然 龟比较鼬哇的考虑到与二次根式联系最为 紧密的是两点之问的距离．因~．--f以将，∞imam： 写为，∞ 石= — ．结合两点之间的距离公 式，构造成为—个动点 一 和两个定点嘏1)和坤．∞，进一 步转化为动点与两个定点之间的足巨离的差，结合图形就可以 使得问趣潲崾I解决 解析：将，∞的表达式改写 ，∞ 虿一 ． 设 ∞．触母，aO．o)．如图2所示， 则，∞表示削一船又知p点 吼迹为 z．结合图形可知： 当P在AB的延长线与抛物线，．，的交点处时，脚一四有最 大值AB。

丽 ，所以，(工)的最大值为压 例4已知变量4． 置，则(-一2∞ +(d一 一2幽 的最 小值为 分析：由于细一2．om~+(口一5√至一2ney中含有 嗄卅卜元素4 和d．它们都是变量．目试题中还有 口和—口，如果将表 ：甓开，胃并明 氏函数舶知蕾 臻比较盟赡考虑 到表达式的特征．联想到两点之同的距离公式，因此可以构 造为两个动点之间的酗再考虑到两个动点的轨迹．转化 为点到直线的距离． 解析：设点嘏口一5． ∞ 2血毋． 分析：实数z、y满足的条件是—个椭圆．要求l，+，一 I 的最小值，考虑到lX4-y-- I可以改写为 一 ，而 表示椭圆上的点弼直线，+ ～ 一的距离．要求 ，可嘣 哺 间獬． 解析：设一条与直线，+，一 一平行的直线方程为 ，+，一ho，联立方程组{妻 -．1消去z得蓟 ‘，一^ + ，一l—o，即3，一2 ·+ 一1一o，由6一时一12‘ — —o船 得 一 害，所以彰 扫寝为，+ ±雩一这B擅线，+，t 一 与直线，+ 一 ．o之问的矩商为兰 塑所以 Ix+y-．~l=拉． 的最小值为-_ 当代教研t(j丛L；'[113／12O 。