E23.风和喷水池.doc

姓名：张达浙江·中国指导老师：王红权论文标题：风和喷水池风和喷水池题目的素材来源于2002年美国大学生数学建模竞赛摘要：本文对喷水池的水流控制问题进行了研究首先建立了喷泉水柱轨迹的模型，预测了不同风速下水花的落点和水柱的高度然后利用控制流量和调整角度这两种手段，得到了最优化的喷泉水流控制方法，最后实现了风速计对于喷水池自动控制的目标关键字：喷泉水流控制；风力条件；轨迹模型Wind and WatersprayAbstract: In this paper, a numerical method for dynamic simulation of an ornamental fountain is studied. The equations of water-flow motion are based on Newton’s law, which can estimate the height of fountain and whether the spray falls outside the pool area. The results show that the method is effective in adjusting the water-flow from the fountain as the wind conditions change.Key words: water-flow ; control ; wind conditions1 问题提出在一个楼群环绕的宽阔的露天广场上，装饰喷泉把水喷向高空。

刮风的日子，风把水花从喷泉吹向过路行人喷泉射出的水流受到一个与风速计（用于测量风的速度和方向）相连的机械装置控制，风速计安装在一幢邻近楼房的顶上这个控制的实际目标，就是要为行人在赏心悦目的景象和淋水浸湿之间提供可以接受的平衡：风刮得越猛，水量和喷射高度就越低，从而使较少的水花落在水池范围之外试设计一个算法，随着风力的条件和变化，运用风速计给出的数据来调整由喷泉射出的水流2 问题分析由于受到风的影响，喷泉射出的水流情况和无风时相比将会有很大区别为了达到赏心悦目的景象和行人淋水浸湿之间的平衡，就需要恰当地调整射出的水流在求解过程中可分为调整流量和角度两种情况进行分析，确定出在一定风力条件下的最佳流量和喷角设计的目标就是使得喷射景象壮观（水柱高），同时满足水花落在水池范围之内的要求为研究最佳流量和喷角，首先需要建立喷泉水流的轨迹模型该轨迹模型可计算出任意风速时，不同流量和不同喷角所对应的水花落地半径最后根据风速计给出的数据，通过逐步调整喷角和流量并计算相应的水花落点，来寻找最优的喷射方案3 模型假设1） 广场范围内和广场附近的风速和方向处处相同；2） 喷泉位于水池的正中，并且水池呈圆形；3） 喷嘴的尺寸大小固定；4） 喷射的最大流量为Q=0.02立方米每秒；5） 喷嘴最大调整幅度为±θ=25度；6） 水柱在空中只受到重力和风力的作用；4 符号说明-----------------重力加速度； -----------------水密度；-----------------喷射的流量； ------------------水柱微元段的倾角；---------------水柱微元段的质量； ----------------水柱微元段的体积；----------------水柱微元段的长度； ------------------水柱微元段的截面积；------------------水柱微元段的位置矢量； -----------------水柱微元段受到的重力；-----------------水柱微元段受到的风阻力； Vt-------------------水柱微元段的切向速度；Vn -----------------水柱微元段的法向速度； Ct ------------------切向风阻力系数；Cn -----------------法向风阻力系数； Jx 、Jy ------------水平、垂直风速；5 模型建立通过观察喷泉，可以看到水流运动的全部过程：从喷嘴射出，然后经过空中的飞行，并且划出一道优美的弧线最终落到水池中。

我们需要建立的就是水流在空中飞行的轨迹模型首先取正在空中飞行的任意一小段水柱， 建立沿着该水柱的轨迹坐标系（t,n）和空间固定坐标系（x,z），两坐标系之间的夹角为Ф两个坐标系可以通过转换矩阵[A]相关联： （1）引入水柱微元段的位置矢量，对其求两阶导数得到水柱微元段的加速度： （2）水柱微元段受到的外力有重力和风阻力，分别用矢量表示： （3） （4）根据牛顿第二定律，可得： （5）考虑到水柱微元段是沿着轨迹运动，故此外还有关系式：，，，将以上各式与（2）、（3）、（4）式代入（5）式，最后经过化简分别在和两个方向上列出等式： （6） （7）其中，和为水柱微元段相对于空气的速度：6 模型求解式（6）和（7）组成了常微分方程组，可以采用四阶龙格库塔方法，利用Matlab软件进行数值求解：其中，为（6）式，为（7）式，为时间步长，和分别为和。

以水柱微元段刚离开喷口的时刻为初始时刻，初始速度和倾角分别为和解得时刻的速度和倾角，然后通过关系式（1）可求出该水柱微元段在时刻的水平速度和垂直速度，最后对时间进行积分可得到喷泉水流的轨迹现假设喷泉的喷嘴直径为1厘米，水池的半径为5米，水流在空气中的阻力系数和分别为0.1和1.0图1给出了当喷泉以0.02的流量垂直向上喷射时，风速的大小对水流轨迹的影响可见当风速超过0.3米/秒时，水花将落到水池以外为了不使行人在大风速时淋湿必须减小喷泉的流量，表1和图2给出了不同流量和风速对应的水花落地半径 图1 不同风速下喷泉水流的轨迹线（）图2 不同流量和风速对应的喷泉水柱高度（） 图3 不同流量和风速对应的喷泉水花落地半径（）从图2和图3中可看出，当风速比较大时为了保证水花落在5米之内，必须极大地减小喷泉的流量而流量的减小使得喷泉水柱的高度大大降低，影响了行人观赏的效果因此可尝试调整喷射的垂直角度Ф0（水平角度根据风向而定，保持迎风即可），以达到赏心悦目的景象和行人淋水浸湿之间的平衡图4给出了喷泉以不变的流量（0.02）分别用90度和80度倾角向上喷射的水柱轨迹可见在一定风速下，通过调整喷射的角度可以使得原本落在水池之外的水花重新又落回到水池半径之内，并且基本不影响水柱的高度，达到了较理想的效果。

图4 调整喷射角度对水柱轨迹的影响 7 最终算法根据以上的计算与分析结果，可以得到随着风力的变化来调整喷泉水流的具体方法先确定该喷水池的参数，包括水池半径、喷口直径、最大喷射流量等数据接着运用喷泉水柱的轨迹模型计算出一定风速下水花的落地半径如果水花落点位于水池之外，则往迎风方向逐步地调整喷射角度（每次减小ΔФ度），若喷射角调整至最大倾角仍不满足要求，则需要减小喷泉的流量（每次减少ΔQ立方米/秒），具体流程算法见图5 图5 喷泉水流调整算法流程8 结论 本文建立了喷泉水流的轨迹模型，可根据风速计给出的风力数据，计算出最佳的流量和喷角结果表明，该模型及算法既保证了水花不落在水池之外，又最大限度地提高了水柱的高度，对喷水池的自动控制有着重要的意义。