线性代数第四章复习小结.ppt

第四章第四章基本内容：一向量基本内容：一向量组的的线性关系性关系（一）（一）.线性性组合判断合判断是是线性性组合通常有两个方法合通常有两个方法1））.定定义法即法即.解非解非齐次次线性方程性方程组法令解解判其是否判其是否为线性性组合合2）利用）利用线性性组合与合与线性相关的关系性相关的关系（二）（二）.线性相关无关性相关无关1.线性相关性的判定性相关性的判定线性相关性的判定通常有下面几个方法：性相关性的判定通常有下面几个方法：1））.定定义法即法即.解解齐次次线性方程性方程组法令，解，解看其是否有非零解看其是否有非零解2））.用初等用初等变换求矩求矩阵3））.利用利用线性相关性有关性性相关性有关性质的秩的秩2.线性相关性有关性性相关性有关性质1））.一个零向量一个零向量线性相关，一个非零向量性相关，一个非零向量线性无关2））.两个向量两个向量线性相关（无关）的充要条件是性相关（无关）的充要条件是对应分量成比例（不成比例）分量成比例（不成比例）3））. n个个n 维向量向量线性相关（无关）的充要条件是其性相关（无关）的充要条件是其组成的行列式成的行列式（（4））.部分相关部分相关则全体相关（全体无关全体相关（全体无关则部分无部分无关）。

关）5).m个个n维向量当向量当m>n时必必线性相关（当向量性相关（当向量组含向量的个数含向量的个数超超过维数必数必线性相关）性相关）6））.如果向量如果向量组:线性相关，性相关，则其任意截断向量其任意截断向量组必必线性性相关（如果向量相关（如果向量组线性无关，性无关，则其任意延其任意延长向量向量组必必线性无关）性无关）3. 线性相关与性相关与线性性组合的关系合的关系1））.线性相关性相关其中至少有某向量是其余向量的其中至少有某向量是其余向量的线性性组合2））.线性无关，性无关，线性相关，性相关，则可由可由线性表示，且表示的系数唯一性表示，且表示的系数唯一3））.若向量若向量组可由向量可由向量组线性表示，且性表示，且则线性相关线性相关（三）（三）.极大无关极大无关组、秩、秩（（1））.向量向量组V的极大无关的极大无关组的等价命的等价命题1））.线性无关，性无关，2)V中任意中任意r+1 个向量个向量线性相关线性无关，性无关，则为为V的极大无关组的极大无关组或或1））2））V中任一向量可由中任一向量可由线性表示 则为为V的极大无关组的极大无关组极大无关极大无关组有两个最基本的特点有两个最基本的特点①①是是线性无关性；性无关性；②②极大性，它极大性，它标明向量明向量组中中线性无关（独立）的且含个数达到性无关（独立）的且含个数达到最大的子向量最大的子向量组。

通常情况使用定通常情况使用定义2））较为方便（（2））.极大无关极大无关组及秩的求法及秩的求法1））.定定义法（法（扩充向量法）；充向量法）；2））.初等初等变换法，即将法，即将按列排成矩按列排成矩阵A，施以行初等，施以行初等变换化化为行行阶梯形梯形B由由B的列极大无关的列极大无关组反寅得反寅得A的列的极大无关的列的极大无关组如果进一步化成行最一步化成行最简形，形，还可由将最可由将最简形中其余向量用极大无关形中其余向量用极大无关组线性表示通通过反寅可将反寅可将A中列的其它向量用极大无关中列的其它向量用极大无关组线性表示二．二．.线性方程性方程组解的解的定理及解的解的解的定理及解的结构构（（一一））.齐次次线性方程性方程组1.解的条件解的条件:2.解的性质解的性质:(1)任意两个解向量至和仍为解向量任意两个解向量至和仍为解向量(2)解向量与实数之积仍为解向量解向量与实数之积仍为解向量从而解向量的线性组合仍为解向量从而解向量的线性组合仍为解向量矩阵矩阵定理定理:设设A为为，则，则3.解空间的维数定理解空间的维数定理:4.解的结构定理解的结构定理:设线性方程组设线性方程组Ax=0的基础解系为的基础解系为:则该方程的通解为则该方程的通解为（（二二））.非非齐次次线性方程性方程组解之和仍解之和仍为。

的任意两解之差是的任意两解之差是的解的解1.解的性质解的性质:的解与的解与的解的解（（2））.有解的判有解的判别:有解有解是是A的的n个列的个列的线性表示的一般解的一般解(通解通解)等于对应的齐次线性方程等于对应的齐次线性方程的一般解加自己的一个特解即的一般解加自己的一个特解即:3.解的结构定理解的结构定理:例例题：（客：（客观题参参练习册）册）1.研究下列向量研究下列向量组的的线性相关性性相关性：：2．求下列向量．求下列向量组的秩，及一个极大无关的秩，及一个极大无关组，，并将其余向量用并将其余向量用该极大无关极大无关组线性表示：性表示：3．．设向量向量组，求向量，求向量组的秩及一个极大无关的秩及一个极大无关组4．．设向量向量，，问：：取何取何值（（1））可由可由唯一唯一线性表示2））不能由不能由线性表示3））可由可由非唯一非唯一线性表示，且求出表示式性表示，且求出表示式5．非．非齐次次线性方程性方程组问取何取何值时？（？（1）有唯一解；（）有唯一解；（2）无解；）无解；（（3）有无）有无穷多个解，并求其解多个解，并求其解6．．设线性无关，性无关，证明明线性无关性无关7））A为n阶方方阵，，，又，又设是非是非齐次次线性方程性方程组的两个不同的解，的两个不同的解，证明明为非非齐次次线性方程性方程组的通解。

其中的通解其中K为任意常数任意常数8.（（1））设为齐次次线性方程性方程组的基的基础解系证明：明：也是也是的基的基础解系2））设向量向量组线性无关，性无关，证明明线性无关的条件是数性无关的条件是数满足足9．．为齐次次线性方程性方程组的一个基的一个基础解系，解系， ，数，数t，，m满足何条件，足何条件，也是也是的基的基础解系。