《高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)》.docx

一．正弦、余弦、正切函数图象和性质函数正弦函数余弦函数正切函数有界性 有界 有界 无界定义域 值域当时，当时，当时，当时， 周期性是周期函数，最小正周期是周期函数，最小正周期 奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于轴对称奇函数，图象关于原点对称单调性在上是单调增函数在 上是单调减函数在上是单调增函数 在上是单调减函数在上是单调增函数对称轴对称中心 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 （一）三角函数的性质　1、定义域与值域　2、奇偶性　　（1）基本函数的奇偶性　　奇函数：y＝sinx，y＝tanx；　　偶函数：y＝cosx.　　（2） 型三角函数的奇偶性　　（ⅰ）g（x）＝ （x∈R） g（x）为偶函数 　　 由此得 ；　　 同理， 为奇函数　　 .　　（ⅱ） 为偶函数 ； 为奇函数 .　3、周期性　　（1）基本公式　　（ⅰ）基本三角函数的周期　　y＝sinx，y＝cosx的周期为 ；　　y＝tanx，y＝cotx的周期为 .　　（ⅱ） 型三角函数的周期　　 的周期为 ；　　 的周期为 .　（2）认知　　（ⅰ） 型函数的周期 的周期为 ； 的周期为 .　　（ⅱ） 的周期 的周期为； 的周期为 .　　均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.　　（ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.　　（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.　（3）特殊情形研究　　（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；　　（ⅱ） 的最小正周期为 ；　　（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .　　 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性　　（1）基本三角函数的单调区间（族）　　依从三角函数图象识证“三部曲”：　　①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；　　②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；　　③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）　　循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.　　揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.　　（2）y＝ 型三角函数的单调区间　　此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为　　①换元、分解：令u＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝ ；　　②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；　　③还原、结论：将u＝ 代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、＞0）定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（） 注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.②与的周期是.③或（）的周期.的周期为2（，如图，翻折无效）. ④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.⑤当·；·.⑥与是同一函数,而是偶函数，则.⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）⑨不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： .⑩ 有. 二、形如的函数：1、几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；2、函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则＝_____（答：）； 3．函数最大值是，最小值是，周期是，最小正周期频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

4、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正如（1）函数的递减区间是______（答：）；（2）的递减区间是_______（答：）；5、函数图象的画法：（1）利用“五点法”作函数(其中)的简图，是将看着一个整体，先令列表求出对应的的值与的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象②图象变换法：这是作函数简图常用方法===由图象推的图象6．函数的图象与图象间的关系：图象变换(1)振幅变换 (2)周期变换 (3)相位变换 (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移 具体变换方法：三角函数图象的平移和伸缩函数的图象与函数的图象之间可以通过变化来相互转化．影响图象的形状，影响图象与轴交点的位置．由引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．（一）先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得图象（二）先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得 图象无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，例如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；三、正切函数的图象和性质：（1）定义域：2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数但要注意在整个定义域上不具有单调性。