单调数列的极限.doc

第一讲 极限与连续一、 单调数列的极限在学习数列极限过程中，有一类数列是由递推式确定的，对这类数列常用“单调有界的数列，必有极限” 的数列极限存在准则来判断极限的存在性，并求出它的极限值1. 递推数列单调性的判断：(i) 若,则数列是单调的，当,数列单调不减，当,数列单调不增；(ii) 若,则数列不是单调的，但它的两个子列：奇子列和偶子列却是单调的，并具有相反的单调性，即当时,数列就单调不减，单调不增，反之当时,数列单调不增，就单调不减 2. 递推数列有界性的证明常借助于均值不等式和数学归纳法，或利用函数极值的求法，求出的最大值或最小值此最值就是数列的上界和下界 3.求极限i)由数列的单调有界性，利用极限运算法则，在递推式的两端取极限，解方程，即可求得极限A (ii)若两子列的极限，存在且相等，则数列存在例1 设，其中是不超过2的常数，求使数列收敛的值，并计算此时的解：假设,则令对递推式两边取极限得,即，所以当时，才能存在下面考虑的情况显然对任意的正整数有,即数列有界令,由于，所以单调且有界，故存在，其极限.即当时，收敛，且. 例2 设二元函数，且。

又设1)证明：数列收敛；(2)求解：(1)由得，所以因此数列的递推式为 显然，由均值不等式知，即有下界令,由于，所以单调又因为知单调不增，因此收敛2)记,令对递推式两边取极限得,即，所以.例3.设且，证明数列收敛且解：记,这是一条抛物线，它的最大值为，由数学归纳法知，即有界又因为，得数列收敛记,令对递推式两边取极限得,即，所以.例4 设，求.解：易知 即数列有界又因为,且,知数列不是单调的，但,所以奇子列是单调不增的，偶子列是单调不减的故都存在分别记其极限为，令得,同时又成立，所以,故存在.且满足，则.举一反三练习：1.设,,(1) 证明:数列收敛；(2)求2. 设,,求二、 利用等价无穷小代换求极限1.常见的等价无穷小：时，,,,,,,,推广：当在某种趋近方式下，有时，将上面八个式子中的全部替换成,等价式子仍然全部成立例1 求极限解：当时，;， 故 .例2. 求极限解：利用等价无穷小，，而，所以原式 (利用洛比达法则).将数列极限转化为函数极限，然后利用洛比达法则这是求数列极限的常用方法2.在等价无穷小代换求极限过程中，乘积的因子可以任意代换,加减的因子代换要慎用.但在下列情况时，加减的因子就可以整体代换.若.且,则。

例3 求极限 .解：当时， 而 ;,故 原式.3．若是较高阶的无穷小，则.例4求极限 .解：其中是由于是的高阶无穷小所以.举一反三练习：三、 利用拉格朗日中值定理求极限命题：若，在的邻域内连续可导，且，则 例1 求 解：原式例2 设.解：原式.例3 求.解：原式 上式利用举一反三练习：1. ； 2. .3. 四、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求极限;；;例1 求极限解：因此，.例2 求极限解： 所以.五、利用广义洛比达法则求极限命题：若，且(A为有限数或为¥)，则有其中将换成结论仍然成立)通常形象地称此为型的未定式极限与传统的洛比达法则相比，对分子上的函数不做任何假设，可以有极限，也可以无极限，只要可导就行例1 设在上可导,且,为正数，求解：,例2 设在上连续，且，证明： 证明： .再由已知条件，显然有六、利用夹逼定理、定积分定义和(Stolz)定理求极限例1 求.解：令由，所以，故例3 设.解：因为 又，所以由夹逼定理得，例4 设解：,其中，这可看作将等分成n份，每个小区间为，取为每个小区间的中点，，于是 ，故 .例4 解：由上面四个例子可以看出，求数列n项之和的极限时，常用的思路是夹逼定理和定积分的定义。

连乘积形式的极限要先取对数把它转化为连加形式对具有连加形式的数列极限还可以应用stolz定理来求极限命题：若(1)严格单调且，(2) ，则 例5 若，则(1)；(2) 解：取，，则满足stolz定理的条件，.例6 设,证明.证：显然严格单调增，且否则若(正实数)则矛盾！).应用stolz定理得而由递推式子可得 代入上式有.七、利用无穷级数的性质求极限命题：若无穷级数收敛，则例1 求. 解：构造级数，由比值判别法，有级数收敛，因此.5。