直直 线线 与与 圆圆 位位 置置 关关 系系2001.12. 【基础知识【基础知识】】1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系:点在圆点在圆外外 d>r2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系:点在圆上点在圆上 d=r点在点在圆内圆内 dr※直线与圆相切直线与圆相切 d=r※直线与圆相交直线与圆相交 dR+r※相交相交R-r1※点点M(x0,y0)、、直线直线L:x0x+y0y=r2、、圆圆 C:x2+y2=r2.当当M点变点变化化 时时L与与C 的位置关系的位置关系. ※点点M(x0,y0)、、直线直线L:x0x+y0y=r2、、圆圆C:x2+y2=r2.当当M点变化点变化 时时L与与C 的位置关系的位置关系.xyO.MxyO. M※M点圆上时点圆上时 d=r → L与圆相切与圆相切※M点圆外时点圆外时 dr → L与圆相离与圆相离xyO.M ※点点M(x0,y0) 在圆在圆C:x2+y2=r2 外外,则直线则直线L:x0x+y0y=r2与圆与圆C 的的 相交相交,且且L为过如图两切点为过如图两切点A 、、B 的直线的直线.解解:设设A(x1,y1),B(x2,y2)则则MA: x1x+y1y=r2, MB: x2x+y2y=r2 得得x0x1+y0y1=r2, x0x2+y0y2=r2知知A(x1,y1) B(x2,y2)坐标满足方程坐标满足方程x0x+y0y=r2xyO.MAB得过得过A、、B两点的直线方程为两点的直线方程为x0x+y0y=r2 7.若实数若实数x、、y 满足满足(x-2)2+y2=3, 则则的取值的取值范围是范围是_______;M(x,y)x2+y2 的取值范围是的取值范围是_______.(1)解解:设设则则直线直线y=kx与圆与圆(x-2)2+y2=3有有公共点公共点Oxyx+2y 的取值范围是的取值范围是________;(2) 解解:设设x+2y=m则直线则直线x+2y-m=0与圆与圆(x-2)2+y2=3有公共点有公共点 表示表示圆上的点到原点圆上的点到原点的距离的距离. C[ a, b ] 9.自点自点A(-3,3)发出的光线发出的光线L射到射到x 轴上轴上,反射后反射后,其反射光线与圆其反射光线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切相切,求光线求光线L所在的直线方程所在的直线方程.A1xyOACC1解一解一:圆圆(x-2)2+(y-2)2=1, A点关于点关于x 轴轴 的对称点的对称点A1坐标为坐标为(-3,-3)设设反射光线所在直线反射光线所在直线L1方程为方程为: y+3=k(x+3)即即:kx-y+3k-3=0∴∴L1的方程为的方程为:4x-3y+3=0 or 3x-4y-2=0∴∴L的方程为的方程为:4x+3y+3=0 or 3x+4y-2=0 A1xyOACC19.自点自点A(-3,3)发出的光线发出的光线L射到射到x 轴上轴上,反射后反射后,其反射光线与其反射光线与 圆圆x2+y2-4x-4y+7=0相切相切,求光线求光线L所在的直线方程所在的直线方程.解解二二:圆圆(x-2)2+(y-2)2=1关于关于 x 轴对轴对 称的圆称的圆C1 的方程为的方程为(x-2)2+(y+2)2=1则则L与圆与圆C1相切相切设设L方程为方程为: y-3=k(x+3) 即即:kx-y+3k+3=0∴∴L的方程为的方程为:4x+3y+3=0 or 3x+4y-2=0 10.已知圆已知圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,直线直线L:x+y-9=0,过直线过直线L上一点上一点A 作作∠∠BAC=450, 其中边其中边AB过圆心过圆心M,且且B、、C 两点在圆上两点在圆上. (1)当当A点的横坐标为点的横坐标为 4 时时,求直线求直线AC的方程的方程.解解(1):圆圆M:(x-2)2+(y-2)2=L. MABCxyOA点坐标为点坐标为(4,5)AB所在的直线的斜率为所在的直线的斜率为k=∴∴AC的方程为的方程为: 5x+y-25=0 or x-5y+21=0检验方程的直检验方程的直线是否与圆有线是否与圆有公共点公共点 10.已知圆已知圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,直线直线L:x+y-9=0,过直线过直线L上一点上一点A 作作∠∠BAC=450, 其中边其中边AB过圆心过圆心M,且且B、、C 两点在圆上两点在圆上. (2)求求A点横坐标的取值范围点横坐标的取值范围.动画M .ABCLxyO解解(2):圆圆M:(x-2)2+(y-2)2=, 设设A(t,9-t)d设设圆心圆心M到到AC距离为距离为d则则|MA|= d由由AC与圆与圆M有公共点知有公共点知:d≤R得得|MA|≤∴∴(t-2)2+(7-t)2≤17即即:3≤t≤6∴∴t 的取值范围是的取值范围是[ 3, 6 ] ※有关直线有关直线 ( 圆圆 ) 与圆位置关系的问题与圆位置关系的问题 ,一般总是通过圆心到一般总是通过圆心到 直线直线( 圆心距离圆心距离)来解答问题来解答问题.※求过点的圆的切线方程求过点的圆的切线方程【小结【小结】】xyOxyO. P→求切线段长度求切线段长度※特殊地特殊地: 过圆过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点上一点M(x0,y0)的圆的切线方程的圆的切线方程 为为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 如过点如过点A(3,-1)作圆作圆(x-1)2+y2=5切线切线,切线方程切线方程为为(3 -1)(x-1) -y=5,即即2x-y-7=0 。
