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《现代控制理论》讲义 第五章 状态反馈控制器设计Chapter5 状态反馈控制器设计 控制方式有“开环控制”和“闭环控制”开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合 通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求参见例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量，峰值时间（超调时间），阻尼振荡频率5.1 线性反馈控制系统的结构与性质 设系统为 （5-1）图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统 经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：其控制规律为： 为标量，为参考输入 （5-2） 可见，在经典控制中，通过适当选择，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。

现代控制中采用状态反馈（图5-2）： 其控制规律为： ， （5-3）（的行=的行，的列=的行）称为状态反馈增益矩阵状态反馈后的闭环系统的状态空间表达式为 （5-4） 式中： 图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统若，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P）和“输出导数反馈”（微分控制D）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必定理5-1（定理5.1.1） 若阶系统是状态完全能控的，则经过状态反馈后的闭环系统仍然是状态完全能控的即状态反馈不改变系统的能控性但状态反馈不一定能保持原系统的能观性证明 对系统（5-1）的任意能控状态，根据能控性定义，在时间内，存在一个控制作用，使得在该控制作用下对（5-1）加了状态反馈控制律后，需要证明仍然是闭环系统（5-3）的能控状态事实上，在时间段上，取 （5-5）则由于 所以，也是闭环系统（5-3）的能控状态。

由于的任意性，定理得证例5-1原系统为，，状态反馈矩阵为 ，讨论系统经状态反馈前后的能控性和能观性解：原系统能控且能观；经状态反馈后，，系统经状态反馈后能控性不变；但，系统经状态反馈后不能保持原系统的能观性（状态反馈有可能改变输出端）定理5-2（定理5.1.2）“输出反馈”不改变系统的能控性和能观性（证明略）定理5-3（定理5.1.3）对能控的单输入、单输出系统，“状态反馈”只改变传递函数的分母多项式的系数，而不能移动系统的零点证明：系统传递函数为 ，由于系统的能控性，状态空间模型必能通过非奇异变换得到（等价于）能控标准型，由关系式 由上式整理可得 由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，所以（1）采用状态反馈后，同理可得闭环系统的传递函数 （2）其中 由（1）、（2）可知，状态反馈只改变系统的极点多项式（只改变传递函数的分母多项式的系数），而不会改变分子多项式的系数此时，只要不发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点5.2 稳定化状态反馈控制器的设计 本节的目的就是要寻找“反馈控制器”或者说求出“控制律”，使系统稳定以及使系统的性能满足设计要求。

稳定是一个系统正常运行的首要条件若一个系统不稳定，则必须运用外部控制设法让其稳定如何确定增益矩阵，使下面闭环系统是渐近稳定的？ （5-6） 根据Lyapunov稳定性定理，系统（5-6）渐进稳定的充要条件是存在一个二次型的Lyapunov函数，其中是待定的对称正定矩阵可以通过使标量函数的时间导数是负定的来确定和5.2.1 Riccati矩阵方程处理方法这种方法可用来处理非线性系统、时滞系统等各类系统的镇定问题，也可用于鲁棒控制器的设计鲁棒是Robust的音译，也就是健壮和强壮的意思鲁棒性（robustness）就是系统的健壮性它是在异常和危险情况下系统生存的关键比如说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能否不死机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器）对标量函数求时间导数，并利用状态方程得： （5-7）应用可知，后面两项“标量”相等 （5-8）于是 （5-9）若选取控制律具有以下结构形式 （5-10） （5-11）进一步，选取矩阵使其满足Riccati（里卡提）矩阵方程 （5-12）则，满足渐进稳定的充要条件。

从（5-12）解出正定对称矩阵，代入（5-10）就可得到控制规律这种基于Riccati矩阵方程（5-12）的稳定化控制器设计方法称为Riccati方程处理方法若对给定的，Riccati方程有一个正定对称解矩阵，则对任意的， 因此，对任意，都是系统的稳定化控制律这表明稳定化控制律具有正无穷大的稳定增益裕度，这在实际应用中是非常有用的，操作人员可以根据实际情况，在不破坏系统稳定性的前提下，调节控制器的增益参数，使系统满足其他性能要求例5-2（例题5.2.1）对（例4.4.3）的双积分系统设计稳定化状态反馈控制器解：已经讨论，系统不是一个渐近稳定的，取，Riccati方程为 ，可以求得： ，所以，是正定的，因此，对任意的 都是所考虑系统的稳定化状态反馈控制器（取画图）5.2.2 线性矩阵不等式处理方法 根据线性时不变系统稳定性定理，闭环系统渐近稳定的充要条件是存在一个正定对称矩阵，使得 （5-13）求解上述和耦合的非线性矩阵方程十分困难，为此，先将上式写开成两边左×、右×对称矩阵 记 （5-14） （5-15）不等式（5-15）是一个关于矩阵变量的线性矩阵不等式。

如果能从（5-15）确定（正定对称矩阵），则是系统（5-1）的一个稳定化状态反馈增益矩阵，是相应闭环系统的一个Lyapunov矩阵例5-3（例5.2.2，略）5.3 极点配置 在实际控制系统设计中，不仅要保证系统是稳定的，而且还要使系统具有某些我们所希望的动态性能特别地，希望选择合适的矩阵，使得加入负反馈后的闭环系统的极点（特征值）位于复平面上预先给定的位置，这样就能保证系统具有我们指定的动态响应特性，这样的方法称为“极点配置” 对给定系统，要解决其极点配置问题，需要回答两个问题：（1） 对什么样的系统，极点配置问题可解，即使得闭环系统具有给定极点的状态反馈控制器存在性；（2） 如何设计使闭环系统具有给定极点的状态反馈控制器定理5-4系统存在状态反馈增益矩阵，，使相应的闭环系统的极点可以任意配置的充要条件是系统是状态完全能控证明：必要性假设被控对象不是完全能控的，即有一部分能控，有一部分不能控，则一定存在某个非奇异矩阵使，使变换后得到等价系统比较得到变换后的等价系统： （5-16） （5-17）是能控子系统的能控对，是不能控子系统部分。

所以 这表明，非奇异变换不改变系统的特征值进一步 （5-18）结论（5-18）表明：①状态反馈的能控分量只能通过输入矩阵的能控部分来改变被控对象的能控子系统的极点，而不能改变不能控子系统的极点因此系统（完全）能控是能够任意配置（改变）极点的必要条件②状态反馈的不能控分量对“极点配置”没有贡献如果完全能控，就能保证通过改变状态反馈增益，使的极点任意配置推论5-1当系统不是完全能控时，通过状态反馈使其闭环系统稳定的充要条件是系统的不能控极点都具有负实部（称为能稳定或能镇定的Stabilizable）能控稳定最好的，也可以通过极点配置改造成更稳定不稳定可以通过极点配置改造不能控稳定能镇定的，虽不能通过极点配置改造，但也无妨不稳定最糟糕！不稳定，还不能通过极点配置改造5.3.1 能控标准形的极点配置 设被控对象为能控标准形，，原系统的特征多项式为 希望状态反馈后，闭环系统为特征值集合的特征多项式 比较两边系数可得： （5-19）例5-4（例5.3.1）2阶单输入线性定常系统为，求状态反馈控制器，使闭环系统极点为。

解：利用系统特征多项式和希望的特征多项式相等的充要条件，使两多项式同次幂的系数相等，可以直接解出增益矩阵，称为直接法本题采用直接设计方法，设，代入系统方程得，希望状态反馈后的闭环系统特征多项式为，比较可得：，，所求的状态反馈为例5-4图 闭环控制系统的状态变量图结构图对于一般状态方程，如果他是能控的，即总是存性变换，将状态方程等价的变换成能控标准型 ,，，因此，对于一般状态方程，只要他是能控的，就可以进行任意极点配置而直接配置方法适用于一般状态方程5.3.2 极点配置设计状态反馈控制器的算法 单输入系统的极点配置主要采用变换法和直接法：通过能控标准型（非能控标准型可以通过非奇异变换变成能控标准型）的设计方法称为变换法；利用系统特征多项式和希望的特征多项式相等的充要条件，使两多项式同次幂的系数相等，可以直接解出增益矩阵，称为直接法例5-5（例5.3.2）被控对象的传递函数为，设计一个状态反馈控制器，使闭环系统的极点为解：为了使设计的状态反馈控制器便于实施，描述被控对象的状态空间模型应当尽可能地选择那些易于直接测量的信号作为状态变量将传递函数做一下串联分解，将串联子系统的输出选为状态变量，显然，这样的状态变量容易直接测量。

由此得到状态空间模型为 ，显然，这是一个“非能控标准型”的状态空间。