3.5二维随机变量函数的分布.ppt

一、一般情形二、几个具体函数分布 §3.5 §3.5 两个随机变量的函数分布两个随机变量的函数分布上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、一般情形(一)离散型随机向量的函数设(X,Y)的概率分布表为 函数Z=g(X,Y)设Z的取值为Ck，k＝1，2，…X Yb1b2…bn…a1p11p12…p1n…a2p21p22…p2n…………………ampm1pm2…pmn…………………上页下页铃结束返回首页令集合则有：上页下页铃结束返回首页由X,Y的独立性可知：P{X=i，Y=j}＝ P{X=i} P{Y=j}P{Z=k} =P{X+Y=k} 例例1 1 设X,Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为λ1＋λ2的泊松分布证证上页下页铃结束返回首页(二)连续型随机向量的函数 设(X,Y)的联合密度为f（x，y），为求其Z=g（X，Y）的密度，先求其分布函数即在适当的时候，对分布函数求导，即 fz(z）上页下页铃结束返回首页二、几个具体函数分布(一)Z=X+Y的分布x xyx+y=z上页下页铃结束返回首页由对称性还可知：如果X,Y相互独立，则（3），（4）式分别为（5）称（5）为卷积公式，记为fX*fY或即fX*fY上页下页铃结束返回首页 例例2 2 设X,Y～N(0,1)且相互独立，求Z=X+Y的密度解解：由（5）式可知：∴Z~N(0,2)fX*fY上页下页铃结束返回首页 例例3 3 设R1，R2相互独立，其概率密度均为试求R=R1+R2的概率密度解：解：由(5)得 当且仅当 时被积函数f(x)f(z-x)非零即相当于 fX*fY上页下页铃结束返回首页 例例3 3 设R1，R2相互独立，其概率密度均为试求R=R1+R2的概率密度解解 当z<0时，fZ(z)=0当0≤z≤10时，fZ(z) fX*fY上页下页铃结束返回首页解解 当10≤z≤20时，fZ(z) 例例3 3 设R1，R2相互独立，其概率密度均为试求R=R1+R2的概率密度fX*fY上页下页铃结束返回首页解解 当z>20时，fZ(z)＝0 fX*fY 例例3 3 设R1，R2相互独立，其概率密度均为试求R=R1+R2的概率密度上页下页铃结束返回首页 (三)M＝max(X,Y)及N＝min(X,Y)的分布 ∴Fmax(z) =P{M≤z} =P{X≤z,Y≤z} =F(z,z) 当X,Y相互独立时 Fmax(z)=FX(z)FY(z) (8) 类似地Fmin(z) =P{N≤z} =1-P{N>z} =1-P{X>z,Y>z} 当X,Y相互独立时 Fmin(z)=1-[1- FX(z)][1- FY(z)] (9) 上页下页铃结束返回首页 推推 广广 ：： 设 X1,X2, …,Xn相 互 独 立 ， 且 其 分 布 为 Fxi(x) ,i=1,2, …,n则M=max(X1,X2, …,Xn)及N=min(X1,X2, …,Xn)的分布函数分别为 (10)(11) 特别，当X1,X2, …,Xn独立同分布，其分布函数均为F(x)时 (12) (13)上页下页铃结束返回首页 例例4 4 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成，联接的方式分别时（ⅰ）串联(ⅱ)并联 (ⅲ)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)设L1,L2的寿命分别为X,Y，其概率密度分别为其中α>0，β>0且α≠β，试分别就以上三种联接方式求出L的寿命Z的概率密度。

上页下页铃结束返回首页解解（ⅰ）串联 XY L1,L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，故寿命Z＝min(X,Y)上页下页铃结束返回首页解解（ ⅱ ）并联 当且仅当L1,L2中都损坏时，系统L才停止工作，故寿命Z＝ max(X,Y)XY上页下页铃结束返回首页解解ⅲ)备用XY 当系统L1损坏时，系统L2开始工作.故整个L系统的寿命Z=X+Y, 当 z≤0时，FZ(z)=0 fZ(z)=0 z>0时，fZ(z) fX*fY。