（毕业设计论文）《高考中三角函数问题的解题探究》.doc

曲靖师范学院本科毕业论文曲靖师范学院本科毕业论文 论文题目：论文题目：高考中三角函数问题的解题探究高考中三角函数问题的解题探究 作 者： 学号：2008111262 学 院： 数学与信息科学学院 年 级： 2008 级 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 职称： 讲师 日 期： 2012 年 3 月 20 日 高考中三角函数问题的解题探究 摘要摘要 三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主 要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求 值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用一般设计一道或两道客 观题,一道解答题,约占总分的 12%,即 18 分左右.多数是中、低档题.近几年高 考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的 图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒 等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函 数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 关键词：三角函数；高考；探究 The college entrance examination in the trigonometric functions for the problem solving research Abstract：：Trigonometric function is the middle school mathematics subject content, is the focus of college entrance examination, but also the heat of the university entrance exam, the test include: same angle triangle relation and induction formula, the image of trigonometricfunctionandproperty,trigonometric function simplification evaluation, triangle trigonometric, trigonometric function of the value and the comprehensive application of. General design of one or two objective problem, a solution, accounting for about 12% of the score, i.e., about 18 minutes. Mostly, low- grade topic.In recent years the college entrance examination has been gradually abandoned the complex trigonometric transform and special skill examination, and focus on the image of trigonometric function and property test, the basic knowledge and basic skills test. In the test of trigonometry formula identical deformation at the same time, also directly examined the property of trigonometric function and image transformation, reduces to trigonometric function identical requirement, strengthen the trigonometric function character and image examination strength. Key words：：trigonometric function; college entrance examination; inquiry 目录 1 引言 5 2 文献综述 5 2.1 研究的现状分析 5 2.2 国内研究评价 6 2.3 提出问题 6 3 三角函数概念及同角关系式问题 6 4 三角函数的化简6 5 y=Asin()的图像和性质 .10x 6 三角形中的三角函数.11 7 三角函数应用题.11 8 三角函数的最值及综合应用.11 9 2012 年高考三角函数命题趋势.13 9.1 三角函数的图像和性质是考查的重点也是难点 .13 9.2 三角函数的化简和求值是常考题型 .14 9.3 考综合，突出三角函数的性质 .14 10 结论 15 10.1 主要发现 15 10.2 启示 15 10.3 局限性 15 10.4 努力方向 16 1 引言 三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主 要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求 值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。

一般设计一道或两道客 观题,一道解答题,约占总分的 12%,即 18 分左右.多数是中、低档题.近几年高 考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的 图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒 等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函 数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度 2 文献综述 2.1 国内研究现状 三角函数是数学中的重要内容，也是很多学科中的重要分析方法国内对 三角函数在教学中的应用做了大量研究文献[2]中詹明道提出三角函数是一种 基本的解题方法，具有指导教学意义；文献[3]、[6]、[7]等中，高卫红、韩志 刚、齐毅等人对三角函数问题进行了深入研究，提出三角函数对高考三角问题 有基础性作用；文献[11]、[12]、[13]等中，曾祥红、王淋、王梓坤等人对三 角函数概率问题进行研究，并把三角函数作为解决此类问题的首选方法 2.2 国内研究现状的评价 在国内研究现状中，可见三角函数的重要地位，它不仅是社会生产生活所 必须的工具，也是数学教学中的重要思想方法但是，就目前的研究来看，中 学数学教学中，三角函数大多是在分析和研究简单的三角函数问题和部分基础 性问题，但缺乏针对性，缺少与其它数学知识的联系和探究，没有充分展现三 角函数在教学中的作用和地位. 2.3 提出问题 针对三角函数在教学中的简单应用和不足，不能仅仅局限于简单的三角函 数和基础三角函数问题的研究，深入而有针对性的三角函数和基础三角函数问 题进行专研，同时在此过程中找到三角函数以其他知识的联系是现在和未来研 究的重点。

并探究 2008 年、2009 年、2010 年、2011 年三角函数典型题型及解 法 3 三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必 要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. 例 1（2010 全国 I 卷理 2）记,那么 A. B. - C. D. - 解：, 故选 B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互 化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例 2（2010 全国 1 卷文 1） (A) (B)- (C) (D) 解： 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 4.三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、 逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值. 例 3（2010 重庆文数 15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而 成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径 相等. 设第 段弧所对的圆心角为， 则____________ 解 又 ， 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的 基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的. 例 4（10 全国卷 1 理数 14)已知为第三象限的角， 3 cos2 5  ,则 tan(2 ) 4   . 解： Q为第三象限的角 k20,函数 y=sin(x+ 3  )+2 的图像向右平移 3 4 个 单位后与原图像重合，则的最小值是 （A） 2 3 (B) 4 3 (C) 3 2 (D)3 解：Q将 y=sin(x+ 3  )+2 的图像向右平移 3 4 个单位后为 4 sin[ ()]2 33 yx   4 sin()2 33 x    4 3  =2k, 即 3 2 k  又Q 0， k≥1 故 3 2 k ≥ 3 2 ， 所以选 C 评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学 们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。

例 6（2011 年全国卷 2 第 5 题）设函数，将的 图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 （A） （B） （C） （D） 评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函 数中的对函数图象变化的影响，2010 年 2011 年连续考查 应引起重视 例 7、安徽理（9）已知函数，其中为实数，若 对恒成立，且，则的单调递增区间是 （A） （B） （C） （D） 【解析】若对恒成立，则，所以 ，.由，（），可知 ，即，所以，代入 ，得，由，得 ，故选 A. 评注：本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 6.三角形中的三角函数 此类题主要考查在三角形中三角函数的利用. 解三角形的关键是在转化与 化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积 公式及三角形内角和等公式定理. 例 8（2010 天津理数 7）在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 ，，则 A= （A） （B） （C） （D） 解：由正弦定理得 所以 cosA==，所以 A=300 评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为 边运算。

通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题 . 例 9（2010 江苏卷 13）、在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，，则=________ 解： = 评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考 试题中频繁出现.这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太 大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边 角或将边角互化 例 10、(2011 年江西理 17 题）在中，角、、的对边分别是， ， ，已知. （1）求的值； （2）若，求边 的值. 【解析】（1）由已知得，即 ，由得 即，两边平方得： （2）由知，则，即， 则由得 由余弦定理得，所以 例 11、(2011 年全国卷Ⅱ17 题)已知△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 A-C=90°，a+c=，求 C. 解：由 a+c= 及正弦定理可得：sinA+sinC=,由于A-C=90°, B=180°-(A+C),cosC+sinC=sin(A+C)= sin(90°+2C)= cos2C 即 cos2C=cos(45°-C) 因为 0°C90°所以，C=15°. 评注：三角函数与解三角形的综合性问题，要根据已知条件，。