普通高等学校招生全国统一考试数学文试题辽宁卷解析版通用.doc

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（辽宁卷，解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1）已知集合，，则（A） （B） （C） （D）解析：选D. 在集合中，去掉，剩下的元素构成（2）设为实数，若复数，则（A） （B） （C） （D）解析：选A. ，因此.（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比（A）3 （B）4 （C）5 （D）6解析：选B. 两式相减得， ，.（4）已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（A） （B） （C） （D）解析：选C.函数的最小值是等价于，所以命题错误.（5）如果执行右面的程序框图，输入，那么输出的等于（A）720 （B） 360 （C） 240 （D） 120解析：选B.（6）设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） （B） （C） （D） 3解析：选C.由已知，周期（7）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么（A） （B） 8 （C） （D） 16解析：选B.利用抛物线定义，易证为正三角形，则（8）平面上三点不共线，设,则的面积等于 K^S*5U.C#（A） （B） （C） （D）解析：选C. （9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，，解得.（10）设，且，则（A） （B）10 （C）20 （D）100解析：选A.又（11）已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为（12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 (A)[0,) (B) （C） (D) 解析：选D.，，即，第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为 解析：填 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：，概率为：（14）设为等差数列的前项和，若，则 解析：填15. ,解得，（15）已知且，则的取值范围是 .（答案用区间表示）解析：填. 利用线性规划，画出不等式组表示的平面区域，即可求解（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，所以最长的一条棱的长为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 又，得 因为， 故 所以是等腰的钝角三角形。

（18）（本小题满分12分）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果疱疹面积单位：）（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（Ⅱ）完成下面列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异” 附： 解： （Ⅰ）图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图2注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数 （Ⅱ）表3疱疹面积小于疱疹面积不小于合计注射药物注射药物合计 由于，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱的侧面是菱形，（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值. 解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以 又已知 所又平面A1BC1，又平面AB1C ， 所以平面平面A1BC1 . （Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE， 则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线， 因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE. 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点. 即A1D：DC1=1. （20）（本小题满分12分） 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的焦距；（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离所以椭圆的焦距为4. （Ⅱ）设直线的方程为 联立 解得 因为 即 得故椭圆的方程为 （21）（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：对任意，.解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于≥4x1－4x2,即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4＝. 于是≤＝≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.　　请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点（Ⅰ）证明：∽△;（Ⅱ）若的面积，求的大小.证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知P为半圆C：（为参数，0≤≤）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标;（Ⅱ）求直线AM的参数方程.解：(Ⅰ)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于， 故点M的极坐标为(,) (Ⅱ)M点的直角坐标为(),A(l,0)，故直线AM的参数方程为 (t为参数). (24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知a,b,c均为正数，证明：a2+b2+c2+≥6，并确定a,b,c为何值时，等号成立. 证明：(证法一) 因为a,b,c均为正数，由平均值不等式得 a2+b2+c2≥ ① ≥ 所以≥. ② 故a2+b2+c2+≥ 又≥， ③ 所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当时, ③式等号成立. 即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立. (证法二) 因为a,b,c均为正数,由基本不等式 a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc c2+a2≥2ac. 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac ① 同理≥ ② 故a2+b2+c2+()2 ≥ab+bc+ac+3+3+3 ≥6. ③ 所以原不等式成立当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立. 即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立. 。