数学分析3期末练习题三参考答案.pdf

1 10 统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题三参考答案1. 试求极限.42lim )0, 0(),(xyxyyx解( , )(0,0)( ,)(0,0)24limlim(24)x yx yxyxyxyxyxy( ,)(0,0)11lim424x yxy. 2. 试求极限. )()cos(1lim222222)0,0(),(yxyxeyxyx解由222222 2 22222222( ,)(0,0)( , )(0,0)22sin1cos()2limlim ()4()2x yx yx yx yxy xyxy xyxyee1002. 3. 试求极限.1sin1sin)(lim )0, 0(),(yxyx yx解由于( , )(0,0)( ,)(0,0)111111lim()sinsinlim( sinsinsinsin) x yx yxyxyxyxyxy, 又2yx, 所以( ,)(0,0)11limsinsin0 x yxxy，( ,)(0,0)11limsinsin0 x yyxy, 所以( ,)(0,0)11lim()sinsin0 x yxyxy. 4. 试讨论.lim422)0,0(),(yxxyyx解当点),(yx沿直线xy趋于原点时，23242400 0limlim0xx y xxyxxyxx.当点),(yx沿抛物线线2yx趋于原点时，22424440001limlim2yyxyxyyxyyy. 因为二者不等，所以极限不存在. 2 5. 试求极限. 11lim 2222)0,0(),(yxyxyx解由2222222222( , )(0,0)( ,)(0,0)()(11)limlim 11x yx yxyxyxyxyxy=22( , )(0,0)lim( 11)2 x yxy. 6. ),(xyyxfu,f有连续的偏导数，求., yuxu解令,,xywyxv则 ufvfwffyxvxwxvw ufvfwffxyvywyvw7. ,arctan xyz,xey求.dxdz解由'21()1()dzyxydxxy2221(1)()1()1x xxxxexexexex e.8. 求抛物面222yxz在点)3, 1 , 1(M处的切平面方程与法线方程。

解由于 4 ,2xyzxzy ,在)3, 1 , 1(M处,4) 3, 1 , 1 (xz2)3, 1 , 1(yz，所以 , 切平面方程为 4(1)2(1)3xyz. 即 4230xyz法线方程为 113421xyz.9. 求5362),(22yxyxyxyxf在)2,1 (处的泰勒公式. 解由001,2,(1, 2)5xyf( , )46,(1 , 2)0xxfx yxyf( , )23,(1, 2)0yyfx yxyf( , )4,(1, 2)4xxxxfx yf( , )1,(1, 2)1xyxyfx yf( , )2,(1, 2)2yyyyfx yf.3 得22( , )52(1)(1)(2)(2)f x yxxyy. 10. 求函数)2(),(22yyxeyxfx的极值 . 解由于222222(2 )(22 )0xxx xfexyyeexyy22(1)0x yfey解得驻点)1, 1(，222222(22 ),(22 ),2xx xxx xyx yyfexyyefeyfe22( 1, 1)0,( 1, 1)0,( 1, 1)2xxxyyyAfeBfCfe220,0ACBA所以)1, 1(是极小值点 , 极小值为.2) 1, 1(2ef11. 叙述隐函数的定义. 答: 设RX，RY， 函数.:RYXF对于方程0),(yxF, 若存在集合XI与YJ， 使得对于任何Ix， 恒有唯一确定的Jy， 使得( , )x y满足方程0),(yxF ,则称由方程0),(yxF确定了一个定义在I上，值域含于J的 隐函数 。

一般可记为)(xfy.,JyIx且成立恒等式( ,( ))0,.F x fxxI12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 答: 若( , )F x y满足下列条件 : （i）函数 F在以0P),(00yx为内点的某一区域2RD上连续 ; （ii）0),(00yxF（通常称为初始条件）; （iii）在 D 内存在连续的偏导数yxFy,; （iv）00, yxFy0, 则在点0P的某邻域DPU)(0内，方程yxF,=0 唯一地确定了一个定义在某区间),(00xx内的函数（隐函数）)(xfy，使得1o 00yxf,),(00xxx时)())(,(0PUxfx且0)(,xfxF；4 2°xf在),(00xx内连续 . 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 答: 若( , )F x y满足下列条件 : （i）函数 F在以0P),(00yx为内点的某一区域2RD上连续 ; （ii）0),(00yxF（通常称为初始条件）; （iii）在 D 内存在连续的偏导数yxFy,; （iv）00, yxFy0, 又设在D 内还存在连续的偏导数),(yxFx，则由方程0),(yxF所确定的隐函数在)(xfy在其定义域),(00xx内有连续导函数，且.),(),()( 'yxFyxFxfyx14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 答: 设)(xfy在0x的某邻域内有连续的导函数'( )fx，且00)(yxf; 考虑方程.0)(),(xfyyxF由于0),(00yxF, 1yF, 000(,)'() ,xFxyfx所以只要0'()0fx， 就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程( , )( )0F x yyf x能确定出在0y的某邻域)(0yU内的连续可微隐函数)(ygx，并称它为函数)(xfy的反函数 .反函数的导数是11'( ).'( )'( )yxFgyFfxfx15. 解: 显然axyyxyxF3),(33及yxFF ,在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得03,2axyyxFy的点yx,附近， 方程0333axyyx都能确定隐函数)(xfy；所以，它的一阶与二阶导数如下：对方程求关于x的导数（其中y是x的函数）并以3 除之，得22''0xy yayaxy, 5 或22'0.xayyax y（1）于是22'.ayxyyax.02axy（2）再对（ 1）式求导，得：22'(2') '() ''0,xayyya yyax y即22''()2'2'2 .yyaxayyyx（3）把（ 2）式代入（ 3）式的右边，得333 22222(3)2'2'2.()a xyxy xyaxyayyyxyax再利用方程就得到3232''.()a xyyyax16. 解 : 由于zyxzFFFFFF,,,,01)0, 0,0(,0) 0, 0, 0(处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点)0,0 ,0(附近能惟一确定连续可微得隐函数),(yxfz，且可求得它得偏导数如下：,31223xyzxyzFFxzzx.313223xyzyxzFFyzzy17. 解: (1)令222( , , )3F x y zxyzxyz, 则有23,23,23xyzFxyzFyxzFzxy. 由于0()0,,,xyzF PFFF均连续 ,且00()()10yzFPF P, 故在点0(1,1,1)P附近由上述方程能确定隐函数( , )yy z x和( ,)zz x y. (2)当0yF时 , 由定理知23 23x x yFxyzyFyxz; 6 同理 , 当0zF时, 由定理知2323x x zFxyzzFzxy. 于是求得233 123 23( ,( , ),)22(23),23xxxfx y z xzff yy zxyz yxyzxyzy zyxz2322 1322 23( , , ( ,))33(23).23xxxfx y z x yff zy zxy z zxy zxyzy zzxy并且有(1, (1,1),1)1xfy, (1,1, (1,1))2xfz. 18. 解:首先，, 0)()(00pGPF即0P满足初始条件. 再求出 F，G 的所有一阶偏导数,2,2, 1,2vFuFFxFvuyx.1, 1,,vuyxGGxGyG容易验算，在点0P处的所有六个雅可比行列式中只有.01144),(),(00PvxvxPGGFFvxGF因此，只有,x v难以肯定能否作为以,y u为自变量的隐函数. 除此之外， 在0P的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数. 如果我们想求得),(),,(vuyyvuxx的偏导数，只需对方程组分别关于vu,求偏导数，得到,01,022uuuu xyyxyxxu （1）.01,022vvvvyxxyyxxv （2）由（ 1）解出.222,21222yxyuxyyxxuxuu7 由（ 2）解出222122,.22vvxvxyvxyxyxy19. 解: 设2222( , , , )1F x y u vuvxy, ( , , , )G x y u vuvxy. (1) ,F G关于vu,的雅可比行列式是22( ,)2()11( , )uvF Guvu v, 当uv时 , 在满足方程组的任何一点( , , , )x y u v的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定,u v是, x y的可微函数 ; (2) ,F G关于,x u的雅可比行列式是22( ,)2()1( , )xuF Gxuyyx u, 当xuy时 , 在满足方程组的任何一点( , , , )x y u v的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定,x u是,y v的可微函数 . 20. 解: 设50),,(222zyxzyxF，222),,(zyxzyxG. 它们在)5, 4, 3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：, 6xF, 8yF,10zF, 6xG,8yG,10zG和160),(),(zyGF，(,)120( , )F Gz x，0 ),(),(yxGF. 所以曲线在)5, 4, 3(处的切线方程为：05 1204 1603zyx，即8 3(3)4(4)0,5.xyz法平面方程为 0)5(0)4(3)3(4zyx，即034yx. 21. 解: 令( , , )3zF x y zezxy, 则( , , ),( , , ),( , , )1z xyzFx y zyFx y zxF x y ze, 故 0001,2,0xyzMMMFFF, 因此曲面在点0(2,1,0)M处的法向量为(1,2,0)n, 所求切平面方程为1 (2)2 (1)0xy, 即240xy. 法线方程为21,12 0,xyz即230,0,xyz22. 解: 这个问题实质上就是要求函数222),,(zyxzyxf（空间点( , , )x y z到原点(0,0,0)的距离函数的平方）在条件022zyx及01zyx下的最大 、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令22222( , , , ,)1L x y zxyzxyzxyz. 对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有9 .01,0,02,022,02222zyxLzyxLzLyyLxxLzyx求得这方程组的解为,33117,3353与.32, 231zyx（ 1）（1）就是拉格朗日函数),,,,(zyxL的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集1,),,(22zyxzyxzyx上连续，从而必存在最大值与最小值），故由1313,,2322f所求得的两个值359，正是该椭圆到原点的最长距离359与最短距离359. 23. 叙述含参量x的正常积分定义. 答: 用积分形式所定义的这两个函数.,,),()(dcbaxdyyxfxI（1）与.,,),()()()(x。