在几何证明中除常见的连接.doc

在几何证明中除常见的连接、延长、作平行、作垂直等辅助线之外，还有一种作辅助线的思路，就是通过巧妙的几何变换构造出全等或是特殊图形这种作辅助线方法我们通常称为构造性辅助线 一、翻折构造 例1　如图1，在等腰直角△ABC的斜边AB上，取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n则以x、m、n为边长的三角形的形状是（ ） A.锐角三角形； B.直角三角形； C.钝角三角形； D.随x、m、n变化而变化 分析：⑴要判断以x、m、n为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段长集中到同一个三角形中； ⑵如何用好已知条件中的∠MCN=45°，应同时考虑∠ACM+∠BCN=45° ⑶为将长为x、m、n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM翻折（如图），这样可将m、x两条线段集中再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x、m、n的三条线段就集中到了△PMN中 由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°∴∠BCN=∠PCN， 可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n ∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45° ∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90° ∴以x、m、n为边长的三角形的形状直角三角形。

提示：当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角的关系、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造 二、旋转构造 例2　如图2，已知O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6∶5∶4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，求此三边所对的度数 分析：⑴解决此题的关键依然是要将OA、OB、OC三条线段集中到同一个三角形中 ⑵考虑到等边三角形的的特点，若将△AOB绕A点旋转60°到△AMC，因为△AOM为等边三角形，MO=AO，又OB=MC，则OA、OB、OC就集中到了△COM中OA、OB、OC为三边所对的角即为求△COM的三个内角 由∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6∶5∶4，设∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x 则有6x+5x+4x=360°，x=24°， ∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96° 由∠AOM=∠AMO=60° ∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=36°；∠OMC=∠AMC-∠AMO=84° ∠ACM=180°-（∠MOC+∠OMC）=60° ∴以OA、OB、OC为边的三角形三边所对的度数分别为：60°、36°、84°。

提示：旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合，旋转角度能构成特殊角等两个条件 三、轴对称构造 例3　如图3，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在两边上有点Q、R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值是 分析：⑴要确定△PQR的周长最小，关键是如何确定Q、R的位置而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值 ⑵已知条件中∠AOB=45°，如果分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连OM、ON，根据轴对称性质则有∠MON=90°，可构造出直角三角形 作P关于OA、OB的对称点M、N，连MN与OA、OB的交点Q、R，由轴对称性质，此时△PQR的周长的最小，最小周长等于线段MN的长度 连OM、ON由轴对称性质，OM=OP=ON=10，∠MON=90°，MN=10 提示：一般地，求证几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称，将折线段转化为直线段 四、特殊构造 例4　如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD求证：BD2=AB2+BC2 分析：⑴所求证的关系为平方形式，联想到构造直角三角形运用勾股定理求证。

∠ABC=30°，已BC为边向外作等边三角形△BCE，则可得到∠ABE=90°，BC=BE，可将AB2+BC2转化为直角三角形△ABE中AB2+BE2这样只需证明AE=BD即可 ⑵由∠ADC=60°，AD=CD，连接AC，则△ADC为等边三角形易观察到易证△DCB≌△ACE，于是AE=BD 提示：根据题设条件中的特殊角构造特殊图形（等边三角形、直角三角形、正方形等），也是几何证明中常用的辅助线。