高中数学公式(部分).doc
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等差数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示 缩写 等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression） 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean） 有关系：A＝（a＋b）/2 通项公式 an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1) (n≥2) an=kn+b(k,b为常数) 前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3······+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ① Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an) 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n 性质 且任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有 am+an=ap+aq S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等 和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3 应用 日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级 若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0 其于数学的中的应用，可举例： 快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个 算法不止一种，这里介绍用数列算 令等差数列首项a1=24（24为6的4倍），等差d=6,; 于是令an = 24+(n-1)*6<=132 即可解出n=19 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。
这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示 缩写 等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression） 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项 有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2) 注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件 通项公式 an=a1q^(n-1) an=Sn-S(n-1) (n≥2) 前n项和 当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=na1 性质 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的 性质： ①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. (5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中a^n表示A的n次方 应用 等比数列在生活中也是常常运用的 如：银行有一种支付利息的方式---复利 即把前一期的利息和本金价在一起算作本金， 再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利 按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q不等于 1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式倒数关系:商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβtan（α＋β）＝—————— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβtan（α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2)sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2)cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2)tanα＝—————— 1－tan2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanαtan2α＝————— 1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα 3tanα－tan3αtan3α＝—————— 1－3tan2α 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式 α＋β α－βsinα＋sinβ＝2sin———·cos——— 2 2 α＋β α－βsinα－sinβ＝2cos———·sin——— 2 2 α＋β α－βcosα＋cosβ＝2cos———·cos——— 2 。
