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第一章 空间几何体第一章 课文目录1．空间几何体的构造 1．空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的外表积及体积 知识构造：外表积 体积度 量空间几何体柱体 球体 锥体 台体 中心投影 平行投影棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 三视图 直观图　　一、空间几何体的构造、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的构造特征圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线棱柱及圆柱统称为柱体；〔2〕锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥及圆锥统称为锥体〔3〕台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的局部叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的局部叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴圆台和棱台统称为台体〔4〕球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径〔5〕组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体几种常凸多面体间的关系一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称棱柱直棱柱正棱柱图 形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状及底面全等的多边形及底面全等的多边形及底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的局部用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的局部由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状及底面相似的多边形及底面相似的正多边形及底面相似的多边形及底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱及底面、侧面及底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱及底面、侧面及底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质：名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分2．空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：〔1〕正视图：物体前前方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；〔2〕侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；〔3〕俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规那么：高平齐：主视图及左视图的高要保持平齐长对正：主视图及俯视图的长应对正宽相等：俯视图及左视图的宽度应相等3．空间几何体的直观图〔1〕斜二测画法①建立直角坐标系，在水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上〔平面上〕画出对应的O’X’,O’Y’,使=450〔或1350〕，它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线〔虚线〕〔2〕平行投影及中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。

强调斜二测画法的步骤例题讲解：[例1]将正三棱柱截去三个角〔如图1所示分别是三边的中点〕得到几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图〔或称左视图〕为〔 〕EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEA．BEB．BEC．BED．[例3]正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，那么点P的轨迹是〔 〕A.圆 B.双曲线 C.两个点 解析： 点P到A1D1的距离为，那么点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P的轨迹是两个点选项为C点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力[例4]两一样的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD及正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，那么这样的几何体体积的可能值有〔 〕A．1个　　　　　B．2个 C．3个　　　　　D．无穷多个解析：由于两个正四棱锥一样，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。

点评：此题主要考察空间想象能力，以及正四棱锥的体积正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化[例9]画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得作法：〔1〕画轴：画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°〔或135°〕，∠X′O′Z′=90°〔2〕画底面：按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE〔3〕画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′〔4〕成图：顺次连结A′，B′，C′，D′，F′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的局部为虚线点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图[例10]是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，假设的面积为，那么△ABC的面积为_______________点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素及直观图元素之间的对应关系特别底和高的对应关系逻辑思维能力[例12]多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上及顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，那么P到平面的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为________________________〔写出所有正确结论的编号〕ABCDA1B1C1D1A1解析：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，那么D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；那么D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目 [例13]〔1〕画出以下几何体的三视图〔2〕解析：这二个几何体的三视图如下〔2〕如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图〔单位：cm〕点评：画三视图之前，应把几何体的构造弄清楚，选择一个适宜的主视方向一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线物体上每一组成局部的三视图都应符合三条投射规律[例14]某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要表达物体的长和高，不反映物体的宽而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等据此就不难得出该几何体的形状二、空间几何体的外表积和体积1．多面体的面积和体积公式：名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式：名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h(即πr2l)πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥及球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径3．探究柱、锥、台的体积公式：1、棱柱〔圆柱〕可由多边形〔圆。