初中数学竞赛专题选讲-三点共线.doc

教学视频 -公开课,优质课 ,展示课,课堂实录( ( 要证明 A，B，C 三点在同一直线上， A　　C 　　　　　　　　　　　常用方法有：①连结 AB，BC 证明∠ABC 是平角②连结 AB，AC 证明 AB，AC 重合③连结 AB，BC，AC 证明　AB＋BC＝AC④连结并延长 AB 证明延长线经过点 C　2. 证明三点共线常用的定理有：① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤ 两圆相切，切点在连心线上⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上二、例题例 1.已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，点 P 是形内的任一点， PM⊥AB ，PN⊥CD求证：M，N，P 三点在同一直线上证明：过点 P 作 EF∥AB，∵AB∥CD ，∴EF ∥CD∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵PM ⊥ AB，PN⊥CD　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　∴∠1＝90 ，∠3＝90 　　　∴∠1＋∠3＝180 　　　　　　　　　　　　　 ∴　M，N，P 三点在同一直线上例 2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上　已知：平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 AD 和 BC 的中点，O 是 AC和 BD 的交点求证：M，O，N 三点在同一直线上 证明一：连结 MO，NO∵MO，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线∴MO∥AB ，NO ∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行∴　M，O，N 三点在同一直线上4321A BCDFENMPOA BCDM N教学视频 -公开课,优质课 ,展示课,课堂实录( ( MO 并延长交 BC 于 N，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵MO 是△DAB 的中位线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴MO∥AB 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在△CAB 中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AO＝OC，ON ， ∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　∴BN ， ＝N ， C，即 N， 是 BC 的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵N 也是 BC 的中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴点 N， 和点 N 重合　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　∴　M，O，N 三点在同一直线上　　例 3.已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＋∠B ＝90 ，M，N 分别是AB 和 CD 的中点，BC，AD 的延长线相交于 P求证：M，N，P 三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：∵∠A＋∠B＝90 ，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠APB＝ Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　连结 PM，PN　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　根据直角三角形斜边中线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　PM＝ MA＝MB，PN ＝DN＝ DC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B 　　　　　　　　　　　∴PM 和 PN 重合　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴M，N，P 三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例 4.在平面直角坐标系中，点 A 关于横轴的对称点为 B，关于纵轴的对称点是 C，求证 B 和 C 是关于原点 O 的对称点　　 Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：连结 OA，OB，OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵A，B 关于 X 轴对称，　　　　　　　　C 　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　同理 OC＝OA，∠AOY＝∠COY　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠COY＋∠BOX＝90 　　　　　　　　　　　O　　　　　　　　X　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴B，O，C 　三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵OB＝OC 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　B 和 C 是关于原点 O 的对称点 　　　　　　　　　　　B 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　例 5.已知：⊙O 1 和⊙O 2 相交于 A，B 两点，过点 B 的直线 EF 分别交⊙O 1和⊙O 2 于 E，F 。

求证：AE，AF 和⊙O 1 和⊙O 2 的直径成比例证明：作⊙O 1 和⊙O 2 的直径 AM，AN，连结 AB，BM，BN∵AM，AN 分别是⊙O 1 和⊙O 2 的直径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴M，B，N 在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　N,OA BCDMNA BPCDMNO2O1ABFEM N教学视频 -公开课,优质课 ,展示课,课堂实录( ( 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△AMN∽△AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A三、练习1. 已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，M，N，P 分别是 AD，BC，AC 的中点　　求证：M，N，P 三点在同一直线上2. 已知：△ABC 中，BE ，CF 是中线，延长 BE 到 G，使 EG＝BE ，延长CF 到 H，使 FH＝CF，求证：G，A，H 三点共线　　　　　　　　　　　　　　　　3. 已知：正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点， DE⊥AN 于E，求证：点 M 在 DE 的延长线上（同 33 第 5）4. 求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上5. 已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A 和∠D 的平分线相交于 O，求证：点 O 在梯形的中位线上6. 已知：△ABC 中，∠ABM，∠ACN 分别是∠B，∠C 的邻补角，从点A 作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN 四个角平分线的垂线段AD，AE ，AF ，AG，垂足是 D，E，F，G求证：D，E，F ，G 四点在同一直线上7. 已知：点 P 在等边△ABC 外，PA=PB+PC ，以 PA 为一边作等边 △APQ 使点 Q 和点 C 在 PA 的同一侧求证：PQ 必过点 C8. 已知：△ABC 中，AB=AC ，直线 AP∥BC，点 D 和点 C 是关于直线AP 的对称点求证：点 D 和点 B 是关于点 A 的对称点练习题参考答案1. 连结 MP， NP 证明都与 AB 平行2. 连结 AG，AH 证明都与 BC 平行3. 连结 DM 证明 DM⊥AN　　5.　证明 MP 平行于底边6. 根据中位线性质，垂足连线平行于底边7. 连结 CQ，证明∠AQC＝60 教学视频 -公开课,优质课 ,展示课,课堂实录( ( 证明∠DAP＋∠PAC＋∠CAB＝180 [文章来源：教师之家 转载请保留出处][相关优质课视频请访问：教学视频网 。