一维横场伊辛模型的精确解.docx

一维横场伊辛模型的精确解伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性为了研究我们上面所定义的动力学相变，我们要对一维横场伊辛模型的动力学进行求解事实上，对于一维横场伊辛模型确实是有精确解的早在1925年伊辛就解决了一维伊辛问题。

文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点这是统计物理发展的里程碑不过那篇文章及其晦涩难懂直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试伊辛模型量子伊辛模型的普遍表达式可以写为[5]H=—Jg》哗—J》°z幷ii,j上述式子的意义：其中J>0,是一个决定微观能量尺度的相互作用常数；g>0,是一个无量纲的耦合常数，被用来调节H跨过量子相变点对于i,j的求和涵盖了所有i和j最近邻的格点其中的算符是我们熟悉的泡利矩阵；i取不同值是其作用在不同的自旋态上，所以iHj的两个算符是相互对易的其中年本身是对角化的它们的形式如下：打（0^=（0“尸=（00）,在本文中我们研究的一维横场伊辛模型的哈密顿量（周期性边界条件）为：H（g）=—[2£Gz陥+2$Gx]i=1i=1当g<1时系统在零温下处于铁磁相，当g>1时，系统处于顺磁相。

这两个相以量子临界点g=gc=1为分界⑸这个哈密顿量在以年的本征态为基矢时的矩阵表示是非对角化的求解这个哈密顿量即是把哈密顿量的表示矩阵变换成对角形式但可惜的是，在此基矢下，矩阵的维数是以2N的方式随N的增大而增长所以随着格点数N的增加，计算机做这个矩阵对角化所需要的时间是以指数方式增长的，在现有计算机中是无法在可接受的时间尺度内进行有效求解的，这即是所谓的指数墙问题指数墙问题的根本性解决依赖于量子计算机领域的新突破幸运的是，我们想要求解的一维横场伊辛模型是一个特别的模型，它可以通过某些技巧来进行精确求解，得到解析的表达式为了求一维横场伊辛模型的精确解，必须要做一些变换，下面将一一介绍2.1 Jordan-Wigner变换[10-12]JordanWigner变换是解一维横场伊辛模型必不可少的工具⑸它是在自旋模型和费米子模型之间的一个非常有用的映射根据泡利不相容原理，在每个格点上，费米子只能有存在0个或1个粒子这两种状态因此，可以将每个格点上自旋的两种状态映射到费米子的两种存在状态上，用费米子的产生湮灭算符来代替自旋算符但可惜的是，事情并没有那么简单，我们并不可以直接把自旋算符换成产生湮灭算符，因为对于同一个格点，自旋算符满足对易关系，而费米子产生湮灭算符则满足反对易关系。

对于一维自旋问题，真正可以用的变换最先由Jordan和Wigner在1928年得到，他们的做法是在原来的产生湮灭算符的前面乘上一个由格点位置决定的相因子，来使其满足原来自旋算符的对易关系所以，考虑到自旋算符和费米子算符各自的对易关系，变换式可以写为：n(1-2cFj)cij

傅立叶变换的变换式为：e—ikfjC,kci1k■c十=-T->eikf；c十{i屈厶kk满足正交关系：NZ—k7)=&k,k代入上式得：C十c.=>ctc,iikkkC十C._=Vctce—ikii+1kkkcfc十=VctC十eikii+1—kkkcc=Vcce—iki+1ik—kkcit+1ci=Vcktckeik所以，哈密顿量写成：1H(g)=_2cke—ik+c-kckeik+ckc-ke-ik+ckckeik-2gckck)k将k取绝对值，则求和符号中的每一项都会分裂成两项(这两项的求和指标k互为相反数)，新哈密顿量为：H(g)=—1y(c十c,e-ik+c十c十eik+cc.e-ik+ctceik—2gc十c,+c十c,eik2乙kk-kkk-kkkkk-k-k+ckc-ke-ik+ck>0-kckeik+c-kc-ke-ik-2gc-kc-k)利用恒等式：1Icosk=刁(eik+e-ik){21(isink=2(eik—e-ik)哈密顿量可化简为：H(g)=k>0skcIck―coskc-kc-k-isinkc-kCk-isinkC-kCk+巩ck)k>0k>0=》[(g-cosk)(c[Ck—c-kc-k)+isink(ckc-k—c-kck)]c)(g-coskisink)(ck)—k)(—isinkcosk—g)(cT)-k哈密顿量在这种形式下就显然的可以利用正则变换变换成对角形式，也就是利用ck,c—k,c-k,ck的某种线性组合重写哈密顿量H(g)。

这种变换叫做Bogoliubov变换2.4Bogoliubov变换下一步就是要利用Bogoliubov变换，定义新的准粒子产生湮灭算符，把中间的2x2矩阵对角化，使哈密顿量变为对角形式Bogoliubov变换的变换式为：{ck=Uk（g）Yk-ivk（g）Y-kWk=Uk（g）Y-k-ivk（g）Yk带入哈密顿量：H（g）=》％DC：鲁kk0ck=u*k(g)Yk+叭(g)Y_klc_k=u*k(g)Y-k_Mk(g)Yk叭(g)、(g—cosku*k(g)八-isinkisink)(uk(g)cosk-g)(-ivk(g)a—?k0Y—k）（(g一cosk)u*k(g)+sinkv*k(g)i(g一cosk)v*k(g)+isinku*k(g)isinkv*k(g)+i(cosk—g)v*k(g))-sinkv*k(g)+(cosk—g)u*k(g))k0MY—k)(M1121M12)(M)(22Y—k其中矩阵元M的表达式如下：M11=[(g—cosk)u*k(g)+sinkv*k(g)]uk(g)+[sinkv*k(g)+(cosk—g)v*k(g)]vk(g)M12=—i[(g—cosk)u*k(g)+sinkv*k(g)]vk(g)+i[sinkv*k(g)+(cosk—g)v*k(g)]uk(g)M21=i[(g—cosk)v*k(g)+sinku*k(g)]uk(g)—i[—sinkv*k(g)+(cosk—g)u*k(g)]vk(g)M22=—[(g—cosk)v*k(g)+sinku*k(g)]vk(g)+[—sinkv*k(g)+(cosk—g)u*k(g)]uk(g)令其中m12=M21=0其中tan2Bk(g)sinkg—cosk化简后可得到对角化的条件是：uk（g）=cosB/g）、vk（g）=sinek（g）'满足此条件时，哈密顿量可以写成：H(g)=》(YkY—k)(%g)-((g))Gk)k0k—k其中弘⑻=一cosk)2-sin2k。

这样，我们就把哈密顿量变为准粒子产生湮灭算符Yk，Yk，Y—k，Y—k的对角形式这时哈密顿量的基态，基态能量都可直接写出在下一章可以看到，系统的配分函数Z（z）和自由能密度f（z）都可以由本章的结果直接求出解析解所以,到此，已经算求出一维横场伊辛模型的精确解。