人教版高一数学必修一基本初等函数解析.doc
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基本初等函数一．【要点精讲】1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根即若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作②性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，2）．幂的有关概念①规定：1）N*；2）； n个3）Q，4）、N* 且②性质：1）、Q）；2）、 Q）；3） Q）注）上述性质对r、R均适用3）．对数的概念①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数1）以10为底的对数称常用对数，记作；2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：③运算性质：如果则1）；2）；3）R）④换底公式：1）；2）2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称① ，② ，③ ① ，② ，③ ，③函数值的变化特征：（2）对数函数：①定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；4）对数函数与指数函数互为反函数②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。
③函数值的变化特征：①，②，③.①，②，③. （3）幂函数1）掌握5个幂函数的图像特点2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）当a>0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限四．【典例解析】题型1：指数运算例1．（1）计算：；（2）化简：解：（1）原式=；（2）原式=点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序例2．（1）已知，求的值解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算题型2：对数运算（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是 .答案 例3．计算（1）；（2）；（3）解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。
点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例4．设、、为正数，且满足 （1）求证：；（2）若，，求、、的值证明：（1）左边；解：（2）由得，∴……………①由得………… ……………②由①②得……………………………………③由①得，代入得，∵， ∴………………………………④由③、④解得，，从而点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可题型3：指数、对数方程例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.解 （1） 因为是R上的奇函数，所以从而有 又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式等价于 因是R上的减函数，由上式推得即对一切从而解法二：由（1）知又由题设条件得即 整理得，因底数2>1，故 上式对一切均成立，从而判别式例6．（2008广东 理7）设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）A． B． C． D．【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。
当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解题型4：指数函数的概念与性质例7．设（ ）A．0 B．1 C．2 D．3解：C；，点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值例8．已知试求函数f(x)的单调区间解：令，则x=，t∈R所以即，（x∈R）因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞）上的单调性任取，，且使，则（1）当a>1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增2）当0 答案为B点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征例10．设函数的取值范围解：由于是增函数，等价于 ①1)当时，，①式恒成立；2)当时，，①式化为，即；3)当时，，①式无解；综上的取值范围是点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理题型6：对数函数的概念与性质例11．（1）函数的定义域是（ ）A． B． C． D．（2）（2006湖北）设f(x)＝，则的定义域为（ ）A． B．(－4,－1)(1，4) C．(－2,－1)(1，2) D．(－4,－2)(2，4)解：（1）D（2）B点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系例12．（2009广东三校一模）设函数.(1)求的单调区间;(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.解 （1）函数的定义域为. 1分由得; 2分 由得, 3分则增区间为,减区间为. 4分(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, 6分由,且, 8分时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. 9分(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分所以，当a＞1时，方程无解；当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分字上所述，a时，方程无解；或a=2-2ln2时，方程有唯一解；时，方程有两个不等的解. 14分 例13．当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )解：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数。 答案：B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例14．设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D1）求点D的坐标；（2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))，所以由中点公式得D(a+2, log2 )2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2, 其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影由S△ABC= log2>1, 得0< a<2－2点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题题型8：指数函数、对数函数综合问题例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0 1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000()2)∵函数y=2000()x(0
