第1章-第4节-数列在日常经济生活中的应用.docx

§4　数列在日常经济生活中的应用学习目标　1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．知识点一　单利、复利思考1　第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？答案　按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的．思考2　第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？答案　不同．因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的．梳理　一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为a(1＋rx)．(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的．利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和a(1＋r)x.知识点二　数列应用问题的常见模型1．整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，到期本息合计为an，则an＝A(1＋np)．其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题．2．定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，则到第n期末时，应得到本息合计为：nA＋Ap.其本质为已知首项和公差，求前n项和问题．3．分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止．其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．1．复利在第二次计息时，将上一次的本利和当作本金．(√)2．增长率＝.(√)3．同一笔钱，相同的利率，用单利计息和用复利计息收益是一样的．(×)类型一　等差数列模型例1　第一年年初存入银行1 000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为________元．考点　等差数列的应用题题点　等差数列的应用题答案　1 036解析　设各年末的本利和为{an}，由an＝a(1＋nr)，其中a＝1 000，r＝0.72%，∴a5＝1 000×(1＋5×0.72%)＝1 036(元)．即第5年末的本利和为1 036元．反思与感悟　把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等．跟踪训练1　李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？考点　等差数列的前n项和应用题题点　等差数列前n项和应用题解　设第n个月存入的100元到期利息为an，则a1＝100×2.7‰×36，{an}是公差为100×2.7‰的等差数列．∴数列{an}的前36项和S36＝36a1＋d＝36×100×2.7‰×36＋18×35×100×2.7‰＝179.82，3年共存入本金100×36＝3 600(元)．∴到期一次可支取3 600＋179.82＝3 779.82(元)．类型二　等比数列模型例2　现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．考点　等比数列的应用题题点　等比数列的应用题答案　8×1.0255解析　定期自动转存属于复利问题，设第n年末本利和为an，则a1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，a2＝a1＋a1×0.025＝8×(1＋0.025)2，a3＝a2＋a2×0.025＝8×(1＋0.025)3，∴a5＝8×(1＋0.025)5，即5年末的本利和是8×1.0255.反思与感悟　在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律．跟踪训练2　银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于________．考点　等比数列的应用题题点　等比数列的应用题答案　[(1＋r)3－1]解析　设储户开始存入的款数为a，由题意得，a(1＋3q)>a(1＋r)3，∴q>[(1＋r)3－1]．类型三　分期付款例3　用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？考点　等差数列的前n项和应用题题点　等差数列前n项和应用题解　购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝(万元)(n＝1,2，…，10)．因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．a5＝4－＝3.2(万元)．S10＝10×4＋＝31(万元)．因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．反思与感悟　建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则．不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律．跟踪训练3　某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还(　　)A.万元 B.万元C.万元 D.万元考点　等比数列的前n项和应用题题点　等比数列的前n项和应用题答案　B解析　根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，∴x·＝a(1＋γ)5故x＝(万元).1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂(　　)A．65只 B．66只 C．216只 D．36只考点　等比数列的应用题题点　等比数列的应用题答案　B解析　设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列．∴a7＝a1·q7－1＝66.2．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是(　　)A．32 B．31 C．64 D．65考点　等比数列的应用题题点　等比数列的应用题答案　D解析　可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，65个存活．3．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有(　　)A．6只 B．5只 C．8只 D．7只考点　等差数列的前n项和应用题题点　等差数列前n项和应用题答案　A解析　依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列．设a1＝7，d>0，Sn－1＝65－10＝55，∴(n－1)a1＋d＝55，即7(n－1)＋＝55，∴(n－1)＝55.∵55＝11×5且(n－1)为正整数，为正整数．∴解得n＝6.1．数列应用问题的常见模型(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(d为常数)．(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．(3)如果容易找到该数列任意一项an＋1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题. 2．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题. (2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．一、选择题1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为(　　)A．1 600米 B．1 700米C．1 800米 D．1 900米考点　等差数列的应用题题点　等差数列的应用题答案　B解析　从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n，则14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以山的高度为h＝(18－1)×100＝1 700(米)．2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近(　　)A．860个 B．1 730个C．3 072个 D．3 900个考点　等比数列的应用题题点　等比数列的应用题答案　C解析　由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34)＝61，＝10，可得，a11＝3·210＝3 072，故选C.3．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)(　　)A．14 m B．15 mC．16 m D．17 m考点　等差数列的前n项和应用题题点　等差数列前n项和应用题答案　B解析　纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15 m，故选B.4．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg 0.97＝－0.013 2，lg 0.5＝－0.301 0)(　　)A．22 B．23C．24 D．25考点　等比数列的应用题题点　等比数列的应用题答案　B解析　依题意有(1－3%)n<0.5，所以n>≈22.8，故选B.5．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为(　　)A．a(1＋r)7B.[(1＋r)7－(1＋r)]C．a(1＋r)8D.[(1＋r)8－(1＋r)]考点　等比数列的前n项和应用题题点　等比数列的前n项和应用题答案　B解析　2009年存入钱为a元，2010年本息和为a＋a(1＋r)，2011年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2，2012年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3，2013年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a。