外校招生模拟测试(9).doc

外校招生模拟测试（9）一、 填一填：（每题3分，共24分）1、房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人说真话．其中一个人说：“这里没有一个老实人．”第二个人说：“这里至多有一个老实人．”第三个人说：“这里至多有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老实人．”问房间里究竟有多少个老实人? 【分析与解】方法一：假设这房间里没有老实人，那么第1个人的话正确，说正确话的人应该是老实人，矛盾； 假设这房间里只有1个老实人，那么第2～12个人的话都正确，那么应该有11个老实人，矛盾； 假设这房间里只有2个老实人，那么第3～12个人的话都正确，那么应该有lO个老实人，矛盾； 假设这房间里只有3个老实人，那么第4～12个人的话都正确，那么应该有9个老实人，矛盾； 假设这房间里只有4个老实人，那么第5～12个人的话都正确，那么应该有8个老实人，矛盾； 假设这房间里只有5个老实人，那么第6～12个人的话都正确，那么应该有7个老实人，矛盾；假设这房间里只有6个老实人，那么第7～12个人的话都正确，那么应该有6个老实人，满足；…… …… 以下假设有7～12个老实人，均矛盾，所以这个房间里只有6个老实人． 方法二：如果一共有n个老实人，则说“至多0个老实人”、“至多1个老实人”……“至多n一1老实人”的都是骗子； 说“至多n个老实人”、“至多n+1个老实人”……“至多11个老实人”的都是老实人，共有n个老实人、n骗子，而一共12个人，所以n=6． 综上所述，一共6个老实人．2、一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析与解】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．3、有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满含50%酒精的液体，先将乙杯中液体的一半倒入甲杯，搅匀，再将甲杯中液体的一半倒入乙杯。

问这时乙杯中的洒精是溶液的几分之几？分析： 对这类关于浓度计算的问题，只要能搞清楚溶质（这里是酒精）含量和溶液总量的变化，便很容易解决解： 列出每一次变化时两杯中溶液总量和酒精含量的数值：甲杯乙杯总量（杯）含酒精总量（杯）含酒精（杯）开始时01第一次1×=第二次=1+=最后，乙杯酒精量是溶液总量的÷1=答：乙杯的酒精是溶液的4、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=45°, ∠ABC=105°，AB=CD=15厘米，连接对角线BD求四边形ABCD的面积分析和解：考察图形结构可以看出：题目中的已知条件都很分散，为了使分散的条件相对集中，在不改变求解目标的前提下对图形结构作适当调整，看能否“优化”图形结构，使松散的条件变得紧凑注意到∠A=∠B=45°,AB=CD=15㎝,把△DBC切下来，让∠C与∠A相邻，这样可以构成直角，考虑到DC=AB，我们让DC处于AB关于AD的对称位置AE处放置，这样CB就与AD重合，处于AF的位置，DB处于EF的位置（如图（1）所示）通过上面的交换，点E与点B关于AD对称，所以连接EB，此时构成了等腰直角△ABE，且关于线段AF对称，如图（2）所示所以：∠AOE=∠AOB=∠EOF=90°，EO=OB根据上面△AEF的构造得：EF=DB所以：△EOF绕点O旋转180°后与△BOD重合！换一句话讲：原来△EOF这块面积真补到了△ODB的位置上了。

这样，原来四边形ABCD经过上述交换，在保持面积不变的前提下变形成为直角△ABE即：S四边形ABCD=S直角△ABE=15×15×=112.5（㎝2）5、甲、乙两个油桶各装了15千克油，售货员卖出了14千克后从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶，使得乙桶油增加1倍；然后从乙桶倒一部分油分给甲桶，使甲桶油也增加1倍；这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍，问售货员从两个桶里各卖出了多少公斤油？解： 卖前共有油30千克，卖出14千克后还有16千克，最后甲桶油是乙桶油的3倍，因此甲桶有油16×=12（千克），乙桶有油16-12=4（千克）下面列表依题意倒推回去：甲桶乙桶乙桶倒给甲桶后124甲桶倒给乙桶后610甲桶倒给乙桶前115所以甲桶卖出15-11=4（千克），乙桶卖出15-5=10（千克）6、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果将车速比原来提高就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速比原来提高，就可比预定时间提前30分钟赶到这支解放军部队的行程是多少千米？分析：根据“路程一定，速度和时间成反比例”，如果将车速提高，则提高后的速度与原速的比为10：9，所用时间与预定时间的比为9：10，所以预定时间是20÷（10-9）×10=200分。

同理，先按原速行驶72千米后，车速提高，所用时间与原定时间的比是3：4，由提前30分钟，可求出车速提高后行的路程，若以原速行驶需30÷（4-3）×4=120（分），这样就可以知道按原速行驶72千米需要200-120=80分，求出原来的速度后，就可以求出总路程解：（1+）：1=10：920÷（10-9）×10=200（分）（1+）：1=4：330÷（4-3）×4=120（分）72÷（200-120）=0.9（千米/分）0.9×200=180（千米）答：这支部队的行驶是180千米7、新世纪学校的学生总数是一个三位数，平均每个班36个统计员提供的学生总数却比实际总人数少180人原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了这个学校学生总数最多是多少人？分析：假设这个学校总人数是abc,那么abc- bac=180，化简a－b=2，根据这个不定方程，结合数的整除性，就可以确定这个学校学生的总人数解：设这个学校学生总人数是abc,则abc-bac=180即（100a+10b+c）－(100b+10a+c)=180化简得 a-b=2这个学校的总人数只能是：20□，31□，42□，53□，64□，75□，86□，97□。

又知道总人数是36的倍数，直接除以36，可知：总人数只能是648、756、864或972答：这所学校的学生总人数最多是972人8、分母是1001的最简真分数共有多少个？（福州市1999年小学生“迎春杯”数学竞赛试题）分析：分母是1001的真分数有、、、……、，共1000个，为了计算的方便，我们增加一个分数，在1001个分数中考虑问题的答案由于1001=7×11×13，所以1～1001的分子里只要含有7、11、13的倍数的就一定能同分母约分，即不是最简真分数，应该排除掉因此，首先应考虑1～1001中，有多少个7、11或13的倍数的数解：因为1001=7×11×13，所以在1～1001的自然数中，7的倍数共有（11×13）个，11的倍数共有（7×13）个，13的倍数共有（7×11）个；7、11的公倍数有13个，7、13的公倍数有11个，11、13的公倍数有7个；7、11和13的公倍数有1个（即1001）根据容斥原理二可知，在1～1001中，7、11或13的倍数的数共有：11×13+7×13-13-11-7+1=281（个）有1～1001中，不是7、11或13的倍数的数共有：1001-281=720（个）答：分母是1001的最简真分数共有720个。

二、 算一算：（共11分）9、直接写出得数：（每小题1分，共3分）41.2×8.1+11×1.25+53.7×1.9=解：41.2×8.1+11×1.25+53.7×1.9=41.2×8.1+11×1.25+（41.2+12.5）×1.9=（41.2×8.1+41.2×1.9）+（11×1.25+12.5×1.9）=41.2×（8.1+1.9）+1.25×（11+19）=412+37.5=449.51.1×4＋40.9÷5－4.09×=＋＋＋…＋=分析：将分子变为2，运用裂项=－.解：原式=（＋＋＋…＋）× =（－＋－＋…＋－）× =（－）× =10、计算：（每小题4分，共8分，要求写出主要计算过程）（1）（1－×）×（1－×）×（1－×）×（1－×）×（1－×）（2）（1+）+（2+×2）+（3+×3）+……+（10+×10）+（11+×11）三、做一做：（共20分）11、甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能合力生产同一规格的西服甲厂每月用的进间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服；乙厂每月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服。

现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套？分析：根据条件，甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间比为：=2：3，国在单位进间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比应是2：3（注意：在一事实上时间内，数量与每件所用时间成反比）；同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是3：4由于＞，所以甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣解：两厂联合生产，尽量发挥各自特长，安排乙厂全力生产上衣，由于乙厂用月生产1200件上衣，那么乙厂全月可生产上衣：1200÷=2100（件）同时，安排甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产裤子：900÷=2250（条）为了配套生产，甲厂先全力生产2100条裤子，需要2100÷2250=（月）然后甲厂再用月单独生产西服：900×=60（套）于是，现在联合生产，每月比过去多生产西：（2100+60）－（900+1200）=60（套）答：现在每月比过去多生产西服60套12、某服装厂生产一种服装，每件的成本是144元，售价是200元一位服装经销商定购了120件这种服装，并提出：“如果每件的售价每降低2元，我就多定购6件按经销商的要求，这个服装厂售出多少件时可以获得最大利润？这个最大利润是多少元？（1997年武汉市小学数学竞赛试题）分析：这道题可以从“如果每件的售价每降低2元，我就多定购6件”入手，采用列方程的方法来解答。

解：设每件降价x价原来每件利润为200－144=56（元），降价后多售出（×6）件，每件利润为（56－x）元降价后多获得利润为：（120+×6）×（56-x）－120×56=（120+3x）×（56-x）－120×56=120×56+168x－120x－3x2－120×56=48x－3x2=3x（16－x）注意到x+（16－x）=16是固定值因为两个数的和一定，则这两个数的差越小，乘积越大，所以当x=16－x，即x=8时，x（16－x）最大，从而3x(16－x) 最大当每件降价8元时，利润最大此时售出：120+×6=144（件）利润为144×（56-8）=6912（元）答：按经销商的要求，这个服装厂售出144件进可以获得最大利润，这个最大利润是6912元13、甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下。