第3课时　等腰三角形的判定与反证法[6].doc

第3课时　等腰三角形的判定与反证法1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点)2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．一、情境导入思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？用尺子测量后发现AB与AC相等.如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ ABC二、合作探究建立数学模型：已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系? 做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？AB=AC结论验证：证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D在△ABD与△ACD中，∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD,∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）∴AB=AC总结归纳等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).在△ABC中，∴AB=AC(等角对等边). 辨一辨：如图,下列推理正确吗? （等角对等边） (等角对等边)错，因为都不是在同一个三角形中. 典例精析例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）∴AE=DE(等角对等边）∴ △AED是等腰三角形.例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.证明 ∵AB=AC，∴ ∠B=∠C.又∵ DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴ ∠ADE=∠AED.∴△ADE为等腰三角形.反证法想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.小明是这样想的: 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时, AB与AC要么相等,要么不相等.假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．用反证法证题的一般步骤假设: 1. 先假设命题的结论不成立;2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.例题讲解例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．1.已知:如图,∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,①∠1= , ∠2= ；②图中有 个等腰三角形③如果AD=4cm，则BC= cm④如果过点D作DE∥BC,交AB于点E,则图中有 个等腰三角形. 三、板书设计1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．2．反证法(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法.。